Тіло (алгебра): відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Olvin (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
{{redirect|Кільце з діленням}}
== Формальне визначення ==
[[Множина]] <math>K</math> з заданими на ній алгебраїчними операціями додавання і множення називається тілом, якщо виконуються умови:
#<math>a + b = b + a \,</math> (''[[комутативність]]'' додавання);
#<math>(a + b) + c = a + (b + c)\,</math> і <math>(a b)c = a(bc)\,</math> (''[[асоціативність]]'' множення);
#Існують такі елементи <math>0, 1 \in K \,</math>, що для довільного <math>a \in K</math> виконується <math>a + 0 = 0 + a = a 1 = 1 a = a\,</math> (''існування [[нейтральний елемент|
#<math>a (b + c) = a b + a c\,</math> і <math>(a + b) c = a c + bc</math> (''[[дистрибутивність]]'');
#Для довільного <math>x \in K</math> існують <math>y,z \in K</math>, такі, що <math>y + x = x + y = 0</math> і <math>zx =xz = 1</math> ('' існування зворотного елемента'').
Остання умова виділяє тіло як особливу структуру серед [[Кільце (алгебра)|кілець]] — тіло є ''кільцем із діленням''.
== Властивості ==
Рядок 14 ⟶ 17:
*[[Теорема Веддерберна]] — довільне скінченне тіло є [[скінченне поле|скінченним полем]].
*Кожне тіло є [[алгебра з діленням|алгеброю з діленням]] над своїм [[центр (алгебра)|центром]]. Зокрема тіло є [[центральна проста алгебра|центральною простою алгеброю]] над своїм центром.
*Якщо ''S'' є [[простий модуль|простим модулем]] над [[Кільце (алгебра)|кільцем]] ''R'', то множина всіх [[ендоморфізм]]ів ''S'' є тілом. Довільне тіло можна задати в такий спосіб за допомогою деякого простого модуля
== Приклади ==
Рядок 29 ⟶ 32:
[[Категорія:Алгебра]]
[[Категорія:Теорія кілець]]
| |||