Принцип еквівалентності: відмінності між версіями

 
== Математичне формулювання ==
Подивимось, як цей принцип відображається у формулах. Для цього розглянемо ''[[світова лінія|світову лінію]]'' [[матеріальна точка|матеріальної точки]] з [[маса спокою|масою спокою]] <math>m_0m</math>. Натуральний параметр цієї лінії позначимо <math>s</math>, він пропорційний власному часу матеріальної точки <math>\tau</math>:
: <math>(1) \qquad s = c \tau</math>
де <math>c</math> - [[швидкість світла]]. Різниця <math>d s</math> натурального параметра в двох близьких точках чотиривимірного простору-часу називається просторово-часовим інтервалом. Він повязаний з приростами координат наступною формулою:
 
В спеціальній теорії відносності прискорення матеріальної точки було повязане із силою наступною формулою:
: <math>(5) \qquad m_0m {d^2 x^i \over d \tau^2} = F^i</math>
Оскільки в спеціальній теорії відносності символи Крістофеля дорівнюють нулю, то ми можемо замість другої похідної по часу підставити вектор кривини <math>k^i</math> з відповідним коефіцієнтом, і узагальнити (5) до наступної тензорної формули:
: <math>(6) \qquad m_0m c^2 \left ( {d^2 x^i \over d s^2} + \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d s} {d x^k \over d s} \right ) = F^i</math>
 
Всі справжні сили, окрім сили тяжіння і сил інерції, (наприклад електромагнітні сили) зібрані в векторі <math>F^i</math>.
''Мимохідь можна побачити такий цікавий геометричний факт: геодезична кривина світової лінії (розмірність обернена до відстані) дорівнює силі, поділеній на енергію спокою:''.
: <math>(7) \qquad k^i = {F^i \over m_0m c^2}</math>
Сила тяжіння і сили інерції описуються одним доданком в формулі (6), повязаним із символами Крістофеля. Перепишемо (6), перенісши цей доданок в праву частину рівняння, і позначимо цю несправжню силу <math>\tilde F^i</math> (еф з тільдою):
: <math>(8) \qquad m_0m {d^2 x^i \over d \tau^2} = - m_0 \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d \tau} {d x^k \over d \tau} + F^i = \tilde F^i + F^i</math>
 
Звернемо увагу, що маса <math>m_0m</math> в лівій частині формули (6) винесена за дужки, а тому при розритті дужок буде однаковою інерційна маса, яка стоїть множником біля прискорення в даній системі координат:
: <math>(9) \qquad m_0m {d^2 x^i \over d \tau^2}</math>
і гравітаційна маса, яка стоїть множником в формулі для гравітаційної сили:
: <math>(10) \qquad \tilde F^i = - m_0m \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d \tau} {d x^k \over d \tau}</math>
 
Ясно, що відокремити силу тяжіння від сил інерції важко, особливо в нестаціонарному гравітаційному полі.
Анонімний користувач