Момент інерції: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 30:
== Тензор інерції ==
Запишемо формулу для кінетичної енергії тіла що обертається навколо осі, що проходить через центр мас (тут і далі ми будемо опускати індекси, що нумерують точки){{sfn | Ландау,Лифшиц | 1965 | с=126}}:
: <math> T = \sum \frac{m v^2}{2} = \sum \frac{m}{2} (\mathbf{\Omega \times r})^2 </math>
Розклавши [[Векторний_добуток#Алгебричні_властивості_векторного_добутку|квадрат векторного добутку]], отримаємо
: <math> T = \frac{1}{2}\sum m (\Omega^2 r^2 - (\mathbf{\Omega r})^2)</math>
Перепишемо вираз у тензорному вигляді, через компоненти <math> \Omega_i, r_i</math> векторів <math> \mathbf{\Omega r}</math>:
: <math> T = \frac{1}{2}\sum m (\Omega_i^2 r^2 - \Omega_i r_i \Omega_k r_k)</math>
Використовуючи тотожність <math> \Omega_i = \delta_{ik}\Omega_k </math>, де <math>\delta_{ik}</math> — [[Символ Кронекера|одиничний тензор]], перепишемо останнє рівняння як:
: <math> T = \frac{1}{2}\sum m (\Omega_i \Omega_k \delta_{ik} r^2 - \Omega_i r_i \Omega_k r_k) = \frac{1}{2}\Omega_i \Omega_k\sum m (\delta_{ik} r^2 - r_i r_k)</math>
Ми можемо винести компоненти кутової швидкості за символ суми, оскільки вони є однаковими для всіх точок.
Величина <math> I_{ik} = \sum m (\delta_{ik} r^2 - r_i r_k)</math> називається тензором інерції тіла (для випадку неперервного розподілу маси сума заміняється аналогічним інтегралом).
Запишемо його компоненти у явному вигляді{{sfn | Ландау,Лифшиц | 1965 | с=127}}:
: <math>I_{ik} = \begin{pmatrix} \sum m (y^2 + z^2) & -\sum mxy & -\sum mxz \\ -\sum myx & \sum m (x^2 + z^2) & -\sum myz \\ -\sum mzx & -\sum mzy & \sum m (x^2 + y^2) \end{pmatrix}</math>
Діагональні компоненти тензора називають ''осьовими моментами інерції'' (відносно відповідних осей), а діагональні — ''відцентрові моменти інерції''. В той час як осьові моменти завжди додатні, відцентрові можуть бути і від'ємні.
Тензор інерції симетричний
: <math> I_{\alpha\beta} = I_{\beta\alpha} </math>.
Як і для будь-якого іншого симетричного тензору другого рангу, його можна спростити, перейшовши до системи координат, у якій він має діагональну форму
(
Вираз для кінетичної енергії тоді спрощується до
:<math>T=\frac{1}{2}(I_1\Omega_1^2+I_2\Omega_2^2+I_3\Omega_3^2</math>
Тіло, всі три головних моменти якого є різними називають ''асиметричним ротатором'', той, у якого збігаються два моменти з трьох — ''симетричним ротатором'', а такий, у якого всі три головних моменти рівні — ''сферичним ротатором''{{sfn | Ландау,Лифшиц | 1965 | с=128}}.
Головні осі інерції тіла, що має деяку симетрію, також зберігають її — наприклад, якщо тіло має вісь симетрії, то одна з головних осей інерції напрямлена вздовж осі симетрії.
== Рівняння динаміки твердого тіла ==
| |||