Розмірність Круля: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
У [[абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]], '''розмірність Круля''' кільця ''R'' — число строгих включень в максимальному ланцюзі [[простий ідеал|простих ідеалів]]. Розмірність Круля не обов'язково є обмеженою навіть для [[кільце|нетерових кілець]].
== Означення ==
Якщо ''P''<sub>0</sub>, ''P''<sub>1</sub>, ... , ''P''<sub>n</sub> — прості ідеали кільця такі що <math>P_0\subsetneq P_1\subsetneq \ldots \subsetneq P_n</math>, то кажуть, що ці ідеали утворюють ланцюг довжини ''n''. Розмірність Круля — [[супремум]] довжин ланцюгів головних ідеалів.
== Приклади ==
Наприклад, в кільці ('''Z'''/8'''Z''')[x,y,z] ми можемо розглядати ланцюг▼
: <math>(2) \subsetneq (2,x) \subsetneq (2,x,y) \subsetneq (2,x,y,z) </math>▼
:Кожен з цих ідеалів головний, так що розмірність Круля ('''Z'''/8'''Z''')[x, y, z] є як мінімум 3. Фактично розмірність цього кільця рівна точно 3.
* Довільне [[поле (алгебра)|поле]] ''k'' має розмірність Круля 0.
* [[Кільце многочленів]] <math>k[x_1, ..., x_n]</math>над деяким полем ''k'' має розмірність Круля ''n''.
* [[Кільце головних ідеалів]], що не є полем, має розмірність Круля 1.
* Розмірність довільного [[Кільце Артіна|кільця Артіна]] є рівною 0.
* Розмірність довільного [[Кільце Дедекінда|кільця Дедекінда]] є рівною 1.
* [[Локальне кільце]] має нульову розмірність тоді і тільки тоді, коли всі елементи його [[Максимальний ідеал|максимального ідеалу]] є [[Нільпотентний елемент|нільпотентними]].
== Властивості ==
Розмірність Круля кільця ''R'' рівна супремуму [[висота (теорія кілець)|висот]] всіх простих ідеалів ''R''. Зокрема, [[область цілісності]] має розмірність Круля 1, коли кожен відмінний від нуля простий ідеал є [[максимальний ідеал|максимальним ідеалом]].▼
▲* Розмірність Круля кільця ''R'' рівна супремуму [[висота (теорія кілець)|висот]] всіх простих ідеалів ''R''. Зокрема, [[область цілісності]] має розмірність Круля 1, коли кожен відмінний від нуля простий ідеал є [[максимальний ідеал|максимальним ідеалом]].
* Область цілісності є полем, якщо і тільки якщо його розмірність Круля рівна нулю. ▼
* Якщо кільце ''R'' має розмірність Круля ''k'', то кільце [[многочлен]]ів R[x] матиме розмірність як мінімум ''k + 1'' і як максимум ''2k + 1''. Якщо R — [[кільце Нетер]], то розмірність ''R[x]'' рівна ''k + 1''.▼
* Розмірність Круля кільця є рівною розмірності будь-якого його [[Ціле розширення кільця|цілого розширення]].
== Размірність модуля ==
Якщо ''R'' — комутативне кільце і ''M'' — ''R''-модуль, розмірність Круля ''M'' визначається як розмірність Круля [[Факторкільце|факторкільця]] по анулятору модуля:
: <math>\operatorname{dim}_R M := \operatorname{dim}( R/\operatorname{Ann}_R(M))</math>
▲Область цілісності є полем, якщо і тільки якщо його розмірність Круля рівна нулю.
де Ann<sub>''R''</sub>(''M'') — [./https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%B4%D1%80%D0%BE_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0) ядро] відображения R → End<sub>''R''</sub>(M) (що співставляє елементу кільця множення на цей елемент).
▲Якщо кільце ''R'' має розмірність Круля ''k'', то кільце [[многочлен]]ів R[x] матиме розмірність як мінімум ''k + 1'' і як максимум ''2k + 1''. Якщо R — [[кільце Нетер]], то розмірність ''R[x]'' рівна ''k + 1''.
== Джерела ==
| |||