Відкрити головне меню

Зміни

 
== Доведення ==
===Мовою теорії ймовірності===
З означення сподівання:
:<math>\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x) \, dx</math>
 
Однак, X невід'ємна випадкова змінна тому,
:<math>\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty xf(x) \, dx = \int_0^\infty xf(x) \, dx </math>
 
З цього отримуємо,
:<math>\operatorname{E}(X)=\int_0^a xf(x) \, dx + \int_a^\infty xf(x) \, dx \ge \int_a^\infty xf(x) \, dx \ge\int_a^\infty af(x) \, dx = a\int_a^\infty f(x) \, dx= a \operatorname{Pr}(X \ge a)</math>
 
Тепре легко видно, що
:<math>\Pr(X \ge a) \le \operatorname{E}(X)/a</math>
 
===Мовою теорії міри===
Припустимо, що функція <math>f</math> невід'ємна, оскільки у рівнянні з'являються лише абсолютні значення. Тепер, розглянемо дійснозначиму функцію <math>s</math> на <math>X</math> задану через
 
 
:<math>\mu(\{x\in X : \, f(x) \geq \varepsilon \}) \leq {1\over \varepsilon }\int_X f \,d\mu.</math>
 
== Приклад ==
 
9472

редагування