Відмінності між версіями «Область цілісності»

нема опису редагування
м (Заміна застарілого математичного синтаксису відповідно до mw:Extension:Math/Roadmap)
 
* Простий приклад області цілісності — кільце [[цілі числа|цілих чисел]] <math>\Z</math>.
* Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка [[Кільце Артіна|артиноваартінова]] область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є [[поле Галуа|скінченними полями]].
* Кільце [[многочлен]]ів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце <math>\Z[x]</math> многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце <math>\R[x,y]</math> многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
* Множина дійсних чисел виду <math>a+b\sqrt{2}</math> є підкільцем поля <math>\R</math>, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про [[множина|множину]] [[комплексні числа|комплексних чисел]] виду <math>a+bi</math>, де <math>a</math> і <math>b</math> цілі.
== Подільність, прості незвідні елементи ==
 
Нехай <math>a</math> і <math>b</math>&nbsp;- елементи цілісного кільця <math>K</math>. Говорять, що «<math>a</math> ділить <math>b</math>» або «<math>a</math>&nbsp;- дільник <math>b</math>» (і пишуть <math>a\mid b</math>), якщо і тільки якщо існує елемент <math>x\in K</math> такий, що <math>ax=b</math>.
 
Подільність [[транзитивність|транзитивна]]: якщо <math>a</math> ділить <math>b</math> і <math>b</math> ділить <math>c</math>, то <math>a</math> ділить <math>c</math>. Якщо <math>a</math> ділить <math>b</math> і <math>c</math>, то <math>a</math> ділить також їх суму <math>b+c</math> і різниця <math>b-c</math>.
 
* Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності.
** Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція [[поле часток|поля часток]].
* Якщо <math>A</math> — область цілісності, тето кільце [[многочлен]]ів і кільце [[формальний степеневий ряд|формальних степеневих рядів]] над <math>A</math> також будуть областями цілісності.
* Якщо <math>A</math> — комутативне кільце з одиницею і <math>I</math> — деякий [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] <math>A</math>, то кільце <math>A/I</math> є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал <math>I</math> є [[простий ідеал|простим]].
* Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його [[спектр кільця|спектр]] є незвідним топологічним простором.
* Прямий добуток кілець ніколи не буваєє областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
* [[Тензорний добуток]] цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
* [[Характеристика кільця|Характеристика]] області цілісності є або нулем, або [[Просте число|простим числом]].