Математичне сподівання: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Inna Z (обговорення | внесок) |
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 74:
===<math>\operatorname{E}[{\mathbf 1}_A]=\operatorname{P}(A)</math>===
Якщо <math>A</math> є [[Випадкова подія|випадковою подією]], тоді <math> \operatorname{E}[{\mathbf 1}_A] = \operatorname{P}(A), </math> де <math> {\mathbf 1}_A </math> це [[характеристична функція|індикаторна функція]] для множини <math>A</math>.
'''Доведення.''' За визначенням інтеграла Лебега для простої функції <math> {\mathbf 1}_A = {\mathbf 1}_A(\omega) </math>,
Рядок 125:
:<math>Y=\sum^n_{i=1}y_i\cdot {\mathbf 1}_{A_i},</math>
для деяких вимірних попарно-непересічних множин <math>\{A_i\}^n_{i=1}</math> розбиття <math>\Omega</math>, і <math>{\mathbf 1}_{A_i}={\mathbf 1}_{A_i}(\omega)</math> буде
'''1b.''' Припустимо, що <math>X</math> і <math>Y</math> є довільними не від'ємними величинами. Зауважимо, що кожна не-від'ємна вимірна функція є поточковою границею для поточкової не спадної послідовності із [[Проста функція|простих]] не від'ємних функцій. Нехай <math>\{X_n\}</math> і <math>\{Y_n\}</math> є такими послідовностями, які збігаються до <math>X</math> і <math>Y,</math> відповідно. Ми бачимо, що <math>\{X_n + Y_n\}</math> поточково не спадає, і <math>X_n + Y_n \to X + Y</math> поточково. Відповідно до [[Теорема Леві про монотонну збіжність|Теореми Леві про монотонну збіжність]] і випадку '''1a''',
Рядок 275:
:<math>r\cdot {\mathbf 1}_{|X|\geq r} \leq |X|\cdot{\mathbf 1}_{|X|\geq r} \leq |X|,</math>
де <math>{\mathbf 1}_{|X|\geq r} = {\mathbf 1}_{|X|\geq r}(\omega)</math> це
:<math>r\cdot\operatorname{P}(|X|\geq r)=\operatorname{E}[r\cdot {\mathbf 1}_{|X|\geq r}]\leq\operatorname{E}[|X|\cdot{\mathbf 1}_{|X|\geq r}] \leq \operatorname{E}|X|=0.</math>
Рядок 376:
</math>
в інтервалі <math>[0,1]</math>, і де <math>{\mathbf 1}_S</math> є
Для кожного <math>x\in [0,1],</math> при тому як <math>i \to +\infty,</math> <math>X_i(x) \to X(x),</math> і
Рядок 392:
</math>
Розглянемо обернений приклад, нехай <math>\left([0,1],{\mathcal B}_{[0,1]},{\mathrm P}\right)</math> є ймовірнісним простором, де <math>{\mathcal B}_{[0,1]}</math> це Борелівська <math>\sigma</math>-алгебра у інтервалі <math>[0,1]</math> і <math>{\mathrm P}</math> це лінійна міра Лебега. Визначимо послідовність випадкових величин <math>\textstyle X_i = (i+1)\cdot {\mathbf 1}_{\left[0,\frac{1}{i+1}\right]} - i\cdot {\mathbf 1}_{\left[0,\frac{1}{i}\right]}</math> у <math>[0,1]</math>, де <math>{\mathbf 1}_S</math> задає
:<math>
\sum^n_{i=0} X_i = (n+1)\cdot {\mathbf 1}_{\left[0,\frac{1}{n+1}\right]},
| |||