Математичне сподівання: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 601:
Наявність логарифма в останньому виразі робить неможливим обчислення цього інтегралу (внаслідок необмеженості логарифма при необмеженому аргументі), що і доводить неінтегровність випадкової величини <math>\displaystyle \xi</math>.
==Застосування==
Існує можливість побудувати таке математичне сподівання, яке буде дорівнювати імовірності події, якщо розраховувати його як математичне сподівання від [[Характеристична функція|характеристичної функції]], яка приймає за одиницю факт виникнення події, і нуль у іншому випадку. Цей взаємозв'язок може використовуватися для застосування властивостей математичного сподівання і поширення їх до властивостей імовірностей, тобто, використовувати закон великих чисел, щоб обґрунтувати спосіб оцінки імовірностей за допомогою визначення [[Частота події|частоти]] їх виникнення.
Математичні сподівання для різних степенів величини ''X'' називаються [[Момент (математика)|моментами]] величини ''X''; [[Центральний момент|центральний момент довкола середнього значення]] величини ''X'' це математичні сподівання степенів ''X'' − E[''X'']. Моменти деяких випадкових величин можуть використовуватися для визначення їх розподілів, через їх [[Твірна функція моментів|твірні функції моментів]].
Для того, щоб імпіричним шляхом знайти [[Теорія оцінювання|оцінку]] математичного сподівання деякої випадкової величини, на основі неодноразово отриманих вимірах спостережень необхідно розрахувати [[Середнє арифметичне|середнє арифметичне значення]] для цих результатів. Якщо математичне сподівання існує, ця процедура дозволяє оцінити істинне математичне сподівання [[Незміщена оцінка|незміщеного]] виду і дозволяє мінімізувати суму квадратів [[Похибки та залишки|залишків]] (суму квадратичних відстаней між спостереженнями і [[Статистична оцінка|статистичними оцінками]]). [[Закон великих чисел]] демонструє (при досить м'яких умовах) що, із збільшенням [[Визначення розмірів вибірки|розміру]] [[Вибірка|вибірки]], [[Дисперсія випадкової величини|дисперсія]] цієї [[Статистична оцінка|статистичної оцінки]] зменшується.
Цю властивість використовують у дуже широкому колі різноманітних застосувань, включаючи загальні задачі [[Теорія оцінювання|теорії статистичного оцінювання]] та [[Машинне навчання|машинного навчання]], що дозволяє оцінити (ймовірнісні) величини, що представляють інтерес, за допомогою [[Метод Монте-Карло|методів Монте-Карло]], оскільки більшість з цих величин можна представити у вигляді математичних сподівань, тобто <math>\operatorname{P}({X \in \mathcal{A}}) = \operatorname{E}[{\mathbf 1}_{\mathcal{A}}]</math>, де <math> {\mathbf 1}_{\mathcal{A}}</math> є характеристичною функцією для множини <math>\mathcal{A}</math>.
Математичні сподівання також можна використовувати для розрахунку [[Дисперсія випадкової величини|дисперсії]], за допомогою {{нп|Алгебраїчні формули розрахунку дисперсії випадкової величини|формули розрахунку дисперсії|en|computational formula for the variance}}:
:<math>\operatorname{Var}(X)= \operatorname{E}[X^2] - (\operatorname{E}[X])^2.</math>
Дуже важливою областю застосування математичного сподівання є [[Квантова механіка|квантова механіка]]. Математичне сподівання для оператора квантової механіки <math>\hat{A}</math>, що виконує операцію над вектором <math>|\psi\rangle</math> [[Квантовий стан|квантового стану]] записується як <math>\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|A|\psi\rangle</math>. [[Принцип невизначеності|Невизначеність]] для <math>\hat{A}</math> можна розрахувати за допомогою формули <math>(\Delta A)^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle \hat{A} \rangle^2 </math>.
== Джерела інформації ==
| |||