Математичне сподівання: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Inna Z (обговорення | внесок) |
Inna Z (обговорення | внесок) |
||
Рядок 290:
що і треба було довести.
|}
===Якщо <math>\operatorname{E}[X]<+\infty</math> тоді <math>X<+\infty</math> (майже певно)===
{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
| '''Доведення.'''
|-
|
Оскільки <math>\operatorname{E}[X] </math> є визначеним (тобто <math> \min(\operatorname{E}[X_+], \operatorname{E}[X_-]) < \infty </math>), і <math>\operatorname{E}[X] = \operatorname{E}[X_+] - \operatorname{E}[X_-],</math> нам відомо, що <math>\operatorname{E}[X_+]</math> є скінченним, і ми хочемо показати, що <math>X_+<+\infty</math> (майже певно). Покажемо, що <math>\operatorname{P}( \Omega_\infty ) = 0, </math> де
:<math>\Omega_\infty=\{\omega\in\Omega\mid X_+(\omega)=+\infty\}.</math>
Якщо <math>\Omega_\infty = \emptyset,</math> тоді <math>\operatorname{P}( \Omega_\infty ) = 0, </math> і доказ завершений. Припустивши, що <math>\Omega_\infty \neq \emptyset,</math> визначимо
:<math>\operatorname{SF} = \{ s \mid s\ \hbox{ є простою випадковою величиною}\ 0\leq s\leq X_+ \}.</math>
Дано, що <math>{\rm SF} \neq \emptyset</math>, оберемо <math>f \in {\rm SF}.</math> Для кожного <math>\textstyle n > \sup_\Omega f,</math> визначимо
:<math>
f_n(\omega)=
\begin{cases}
n & \hbox{if}\ \omega \in \Omega_\infty\\[3pt]
f(\omega) & \hbox{if}\ \omega \notin \Omega_\infty.
\end{cases}
</math>
Очевидно, <math>f_n\in {\rm SF},</math> і
:<math> \operatorname{E}[f_n] = n \cdot \operatorname{P}( \Omega_\infty ) + h, </math>
для деякої сталої <math>h \geq 0</math> незалежної від <math>n.</math> (Можна легко помітити, що, насправді, <math> h = \operatorname{E}[f\cdot {\mathbf 1}_{ \Omega\setminus \Omega_\infty}], </math>, але в даному випадку це нас не цікавить).
Припустимо, що <math>\operatorname{P}(\Omega_\infty) > 0. </math> Послідовність <math>\{ \operatorname{E}[f_n] \}</math> строго зростає, тому, за визначенням інтеграла Лебега,
:<math>
\operatorname{E}[X_+] = \sup_{s \in {\rm SF}} \operatorname{E}[s]
\geq \sup_{n > \sup_\Omega f} \operatorname{E}[f_n] = +\infty \cdot \operatorname{P}( \Omega_\infty ) + h = +\infty,
</math>
що суперечить попередньому висновку, про те що <math>\operatorname{E}[X_+]</math> є скінченним.
|}
====Наслідок: якщо <math>\operatorname{E}[X]>-\infty</math> тоді <math>X>-\infty</math> (майже певно)====
====Наслідок: якщо <math>\operatorname{E}|X|<\infty</math> тоді <math>X \neq\pm\infty</math> (майже певно)====
===<math>|\operatorname{E}[X]|\leq\operatorname{E}|X|</math>===
Для довільної випадкової величини буде вірною властивість <math>X</math>, <math> |\operatorname{E}[X]| \leq \operatorname{E}|X|</math>.
'''Доведення.''' Відповідно до визначення інтеграла Лебега,
:<math>
\begin{align}
|\operatorname{E}[X]| &= \Bigl|\operatorname{E}[X_+]-\operatorname{E}[X_-]\Bigr|\leq\Bigl|\operatorname{E}[X_+]\Bigr|+\Bigl|\operatorname{E}[X_-]\Bigr|\\[5pt]
&=\operatorname{E}[X_+]+\operatorname{E}[X_-]=\operatorname{E}[X_++X_-]\\[5pt]
&=\operatorname{E}|X|.
\end{align}
</math>
Відмітимо, що цей самий результат можна довести за допомогою [[#Нерівність Янсена|нерівності Янсена]].
== Приклад випадкової величини, що не має математичного сподівання ==
| |||