Гамма-функція: відмінності між версіями
| [очікує на перевірку] | [очікує на перевірку] |
Вилучено вміст Додано вміст
Inna Z (обговорення | внесок) |
Inna Z (обговорення | внесок) |
||
Рядок 262:
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)n^\alpha} = 1, \qquad \alpha \in \mathbb{C} </math>
Похідні гамма-функції можна описати за допомогою {{нп|
:<math>\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z).</math>
Рядок 270:
:<math>\Gamma'(m+1) = m! \left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)\,.</math>
Для {{math|Re(''x'') > 0}} {{math|''n''}}-а похідна гамма-функції
[[File:DerivGamma.png|thumb|Похідна функції {{math|Γ(''z'')}}]]
Рядок 287:
:<math>\Gamma(z) = \frac1z - \gamma + \tfrac12\left(\gamma^2 + \frac {\pi^2}6\right)z - \tfrac16\left(\gamma^3 + \frac {\gamma\pi^2}2 + 2 \zeta(3)\right)z^2 + O(z^3).</math>
=== Формула Стірлінґа ===
[[File:Gamma1.png|thumb|Представлення гамма-функції у комплексній площині. Кожна точка <math>z</math> забарвлена відповідно до значення аргумента <math>\Gamma(z)</math>. Також показано контурний графік для модуля <math>|\Gamma(z)|</math>.]]
[[File:Gamma abs 3D.png|thumb|3-вимірний графік абсолютних значень комплексної гамма-функції]]
Поведінка функції <math>\Gamma(z)</math> для зростаючих цілих значень змінної є простою: вона зростає досить швидко — швидше за показникову функцію. Асимптотично при <math>z\to \infty </math>, величина гамма-функції задається за допомогою [[Формула Стірлінґа|формули Стірлінґа]]
:<math>\Gamma(z+1)\sim\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z,</math>
де символ <math>\sim</math> задає відношення з яким обидві сторони збігаються до 1<ref name="Davis"/> або асимптотично сходяться.
== Наближення ==
| |||