Гамма-функція: відмінності між версіями
| [очікує на перевірку] | [очікує на перевірку] |
Вилучено вміст Додано вміст
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 114:
: <math> \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right) = 1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-3)(2n-1)\frac{\sqrt{\pi}}{2^n} </math>, де <math>n\!</math> [[цілі числа|ціле]] [[додатні числа|додатне]] число
== Властивості ==
=== Загальні ===
Важливим функціональним рівнянням для гамма-функції є Єйлерова {{нп|формула відображення||en|reflection formula}}
:<math>\Gamma(1-z) \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}}, \qquad z \not\in \mathbb Z</math>
з якої випливає:
:<math>\Gamma(\varepsilon - n) = (-1)^{n-1} \; \frac{\Gamma(-\varepsilon) \Gamma(1+\varepsilon)}{\Gamma(n+1-\varepsilon)},</math>
і {{нп|Теорема про множення Лагранжа|Формула подвоєння Лагранжа|en|Multiplication theorem}}
:<math>\Gamma(z) \Gamma\left(z + \tfrac12\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).</math>
{{Collapse top|title=Доведення формули Єйлерової формули відображення}}
Оскільки <math>e^{-t}=\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n},</math>
гамма-функцію можна представити як
: <math>\Gamma (z)=\lim_{n\to \infty}\int_0^n t^{z-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n} \, dt.</math>
Проінтегрувавши по частинам <math>n-1</math> разів, отримаємо
: <math>\Gamma (z)=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{nz}\frac{n-1}{n(z+1)}\frac{n-2}{n(z+2)}\cdots \frac{1}{n(z+n-1)}\int_0^n t^{z+n-1} \, dt,</math>
що дорівнює
: <math>\Gamma (z)=\lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n}\prod_{k=0}^n (z+k)^{-1} n^{z+n}.</math>
Це можна переписати наступним чином
: <math>\Gamma (z)=\lim_{n\to \infty} \frac{n^{z}}{z}\prod_{k=1}^n \frac{k}{z+k}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^{z}}{z}\prod_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{z}{k}}.</math>
Потім, використавши функціональне рівняння для гамма-функції, отримаємо
: <math>-z\Gamma (-z)\Gamma (z)=\Gamma (1-z)\Gamma (z)=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{z}\prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac{z^{2}}{k^{2}}}.</math>
Використавши розкладання у [[Ряд Фур'є|ряд Фур'є]], функцію <math>\cos (ax)</math> можна представити наступним чином
: <math>\cos (ax)=\frac{\sin (\pi a)}{\pi a}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\pi}\left(\frac{\sin (\pi (n+a))}{n+a}+\frac{\sin (\pi (n-a))}{n-a}\right)\cos (nx),</math>
де <math>a \not \in \mathbb Z</math> і <math>x \in [-\pi ,\pi]</math>.
Використавши [[Список тригонометричних тотожностей|тригонометричні тотожності]], цей вираз можна спростити наступним чином:
: <math>\cos (ax)=\frac{\sin (\pi a)}{\pi a}+\frac{2a\sin (\pi a)}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n} \cos (nx)}{a^{2}-n^{2}}.</math>
Якщо прийняти, що <math>x=\pi</math> і розділити рівняння на <math>\sin (\pi a)</math> отримаємо
: <math>\pi \cot (\pi a)=\frac{1}{a}+2a\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a^{2}-n^{2}}.</math>
Тепер виконаємо заміну <math>a=\frac{m}{\pi}</math>, щоб отримати
: <math>\cot (m)=\frac{1}{m}+2m\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{m^{2}-n^{2}\pi ^{2}}.</math>
Проінтегрувавши обидві сторони по інтервалу від <math>0</math> до <math>z</math> і звівши до степеня, отримаємо
: <math>\frac{\sin (z)}{z}=\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}\right)=\prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}\right).</math>
Тоді
: <math>\frac{\pi}{\sin (\pi z)}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{z}\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{1-\frac{z^{2}}{k^{2}}}.</math>
Звідси випливає формула відображення Ейлера:
: <math>\Gamma (1-z)\Gamma (z)=\frac{\pi}{\sin (\pi z)},\qquad z \not \in \mathbb Z.</math>
{{Collapse bottom}}
{{Collapse top|title=Доведення формули множення Лагранжа}}
[[Бета-функція|Бета-функцію]] можна представити наступним чином
: <math>\Beta (z_{1},z_{2})=\frac{\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}=\int_0^1 t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1} \, dt.</math>
Якщо задати <math>z_{1}=z_{2}=z</math> отримаємо
: <math>\frac{\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}=\int_0^1 t^{z-1}(1-t)^{z-1} \, dt.</math>
Виконавши заміну <math>t=\frac{1+x}{2}</math> отримаємо
: <math>\frac{\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}=\frac{1}{2^{2z-1}}\int_{-1}^1 \left(1-x^{2}\right)^{z-1} \, dx.</math>
Функція <math>\left(1-x^{2}\right)^{z-1}</math> є парною, оскільки
: <math>2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=2\Gamma (2z)\int_0^1 \left(1-x^{2}\right)^{z-1} \, dx.</math>
Тепер припустимо
: <math>\Beta \left(\frac{1}{2},z\right)=\int_0^1 t^{\frac{1}{2}-1}(1-t)^{z-1} \, dt, \quad t=s^{2}.</math>
Тоді
: <math>\Beta \left(\frac{1}{2},z\right)=2\int_0^1 \left(1-s^{2}\right)^{z-1} \, ds=2\int_0^1 \left(1-x^{2}\right)^{z-1} \, dx.</math>
Звідси випливає
: <math>2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=\Gamma (2z)\Beta \left(\frac{1}{2},z\right).</math>
Оскільки
: <math>\Beta \left(\frac{1}{2},z\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)\Gamma (z)}{\Gamma \left(z+\frac{1}{2}\right)}, \quad \Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},</math>
звідси отримаємо формулу подвоєння Лагранжа:
: <math>\Gamma (z)\Gamma \left(z+\frac{1}{2}\right)=2^{1-2z}\sqrt{\pi} \; \Gamma (2z).</math>
{{Collapse bottom}}
Формула подвоєння є особливим випадком {{нп|Теорема про множення Лагранжа|теореми про множення Лагранжа|en|Multiplication theorem}}(див. <ref>{{dlmf|authorlink=Richard Askey|first=R. A.|last= Askey|first2= R.|last2= Roy |id=8.7 |title=Series Expansions|ref=none}}</ref>, Eq. 5.5.6)
:<math>\prod_{k=0}^{m-1}\Gamma\left(z + \frac{k}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{\frac12 - mz} \; \Gamma(mz).</math>
Простою, але корисною властивістю, яка випливає із визначення границі, це:
:<math>\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}) \; \Rightarrow \; \Gamma(z)\Gamma(\overline{z}) \in \mathbb{R} .</math>
Зокрема, при {{math|''z'' {{=}} ''a'' + ''bi''}}, цей добуток дорівнює
:<math>
\begin{align}
|\Gamma(a+bi)|^2 & = |\Gamma(a)|^2 \prod_{k=0}^\infty \frac{1}{1+\frac{b^2}{(a+k)^2}} \\[4pt]
|\Gamma(bi)|^2 & = \frac{\pi}{b\sinh{(\pi b)}} \\[6pt]
|\Gamma\left(\tfrac{1}{2}+bi\right)|^2 & = \frac{\pi}{\cosh{(\pi b)}}
\end{align}
</math>
Одним із самих відомих значень гамма-функції для нецілого аргумента є:
:<math>\Gamma\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi},</math>
яке отримують, якщо задати {{math|''z'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}} у формулах відображення або подвоєння, використавши рівняння для бета функції із {{math|''x'' {{=}} ''y'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}}, або виконавши заміну {{math|''u'' {{=}} {{sqrt|''x''}}}} у визначенні інтегралу гамма-функції, із чого в результаті отримають {{нп|Гаусів інтеграл||en|Gaussian integral}}. У загальному випадку, для невід'ємних цілих чисел {{math|''n''}} маємо:
:<math>\begin{align}
\Gamma\left(\tfrac12+n\right) &= {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\pi} = {n-\frac12 \choose n} n! \sqrt{\pi} \\[8pt]
\Gamma\left(\tfrac12-n\right) &= {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!} \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{{-\frac12 \choose n} n!}
\end{align}</math>
де {{math|''n''!!}} позначає [[Факторіал#Подвійний_факторіал|подвійний факторіал]] від ''n''. Коли {{math|''n'' {{=}} 0}}, {{math|''n''!! {{=}} 1}}.
Може здаватися, що поглянувши на формулу результат {{math|Γ({{sfrac|1|2}}) {{=}} {{sqrt|{{pi}}}}}} можна узагальнити для інших окремих значень {{math|Γ(''r'')}} де {{math|''r''}} є раціональним числом. Однак, ці числа не можна виразити через самих себе в рамках елементарних функцій. Було доведено, що {{math|Γ(''n'' + ''r'')}} є [[Трансцендентне число|трансцендентним числом]] і [[Алгебраїчна незалежність|алгебраїчно незалежним]] від {{math|π}} для будь-якого цілого {{math|''n''}} і будь-якого дробу із {{math|''r'' {{=}} {{sfrac|1|6}}, {{sfrac|1|4}}, {{sfrac|1|3}}, {{sfrac|2|3}}, {{sfrac|3|4}}, {{sfrac|5|6}}}}.<ref>{{cite journal|last=Waldschmidt |first=M. |date=2006 |url=http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/TranscendencePeriods.pdf |title=Transcendence of Periods: The State of the Art |journal=Pure Appl. Math. Quart. |volume=2 |issue=2 |pages=435–463 |doi=10.4310/pamq.2006.v2.n2.a3}}{{open access}}</ref> У загальному випадку, для розрахунку значень гамма-функції необхідно застосовувати числову апроксимацію.
Іншою корисною границею для асимптотичного наближення є:
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)n^\alpha} = 1, \qquad \alpha \in \mathbb{C} </math>
Похідні гамма-функції можна описати за допомогою {{нп|Поліграмна функція|поліграмної функції|en|polygamma function}}. Наприклад:
:<math>\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z).</math>
Для додатного цілого числа {{math|''m''}} похідну гамма-функції можна розрахувати наступним чином (тут {{math|''γ''}} це [[Стала Ейлера—Маскероні]]):
:<math>\Gamma'(m+1) = m! \left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)\,.</math>
Для {{math|Re(''x'') > 0}} {{math|''n''}}-а похідна гамма-функції дорівнюжє:
[[File:DerivGamma.png|thumb|Похідна функції {{math|Γ(''z'')}}]]
:<math>\frac{d^n}{dx^n}\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} (\ln t)^n \, dt.</math>
(Це можна отримати за допомогою диференціювання інтегралу для гамма-функції по змінній {{math|''x''}}, і використавши [[інтегральне правило Лейбніца]].)
Використавши рівняння
:<math>\Gamma^{(n)}(1)=(-1)^n n!\sum\limits_{\pi\,\vdash \, n}\,\prod_{i=1}^r\frac{\zeta^*(a_i)}{k_i!\cdot a_i} \qquad \zeta^*(x):=\begin{cases}\zeta(x)&x\ne1\\ \gamma&x=1\end{cases}</math>
де {{math|''ζ''(''z'')}} - [[дзета-функція Рімана]], із розбиттям
:<math>\pi=(\underbrace{a_1,\dots,a_1}_{k_1},\dots,\underbrace{a_r,\dots,a_r}_{k_r}),</math>
зокрема маємо
:<math>\Gamma(z) = \frac1z - \gamma + \tfrac12\left(\gamma^2 + \frac {\pi^2}6\right)z - \tfrac16\left(\gamma^3 + \frac {\gamma\pi^2}2 + 2 \zeta(3)\right)z^2 + O(z^3).</math>
== Наближення ==
| |||