Вікіпедія

Гамма-функція: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[очікує на перевірку][очікує на перевірку]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Inna Z (обговорення | внесок)
8038 редагувань
Немає опису редагування
Inna Z (обговорення | внесок)
8038 редагувань
Немає опису редагування
Рядок 2:
[[Файл:Gamma plot.svg|thumb|Гамма-функція на дійсній частині області значень]]
[[Файл:Gamma abs2.png|thumb|right|250px|[[Гамма-функція]] мероморфна на всій комплексній площині]]
'''Гамма-функція''' (позначається великою літерою [[Грецька абетка|грецького алфавіту]] — [[Гамма]], {{math|'''Γ'''}}) ——є одним із способів розширення [[спеціальніФункція (математика)|функції]] [[факторіал]]а, до [[дійсні числа|спеціальнадійсних]] функціяі [[Комплексне число|комплексних]] чисел, якаіз визначаєтьсязсувом формулою:її {{нп|Аргумент функції|аргумента|en|argument of a function}} вниз на 1. [[Даніель Бернуллі]] вивів цю функцію для {{math|''n''}}, що є [[Знак (математика)|додатнім]] цілим числом,
: <math> \Gamma(z) = \int\limits_0^\infty{s^{z-1} e^{-s} ds} = \int\limits_0^1{\left(\ln\frac{1}{s}\right)^{z-1}\,ds}</math>▼
 
: <math> \Gamma(n+1) = (n-1)! \,</math>.▼
Гамма-функція є узагальненням поняття [[факторіал]]а, оскільки для [[натуральне число|натуральних]] n
 
▲: <math> \Gamma(n+1) = n! \,</math>.
Хоча існують і інші подібні розширення, це конкретне визначення є самим популярним і вживаним. Гама функція визначена для всіх комплексних чисел, окрім не додатних цілих. Для комплексних чисел із додатною дійсною частиною, гама функція визначається через збіжний [[невласний інтеграл]]:
 
▲: <math> \Gamma(z) = \int\limits_0int_0^\infty{s x^{z-1} e^{-s} dsx}\,dx = \int\limits_0^1{\left(\ln\frac{1}{sx}\right)^{z-1}\,dsdx}</math>
 
Цю інтегральну функцію за допомогою [[Аналітичне продовження|аналітичного продовження]] можна розширити для всіх комплексних чисел, крім недодатних цілих (де функція має прості полюси), в результаті чого отримують [[Мероморфна функція|мероморфну функцію]] яку називають гамма функцією. Вона не має нулів, тож взаємна гамма функція {{math|1/Γ(''z'')}} є [[Голоморфна функція|голоморфною функцією]]. Гамма функція відповідає {{нп|Перетворення Мелліна|перетворенню Мелліна|en|Mellin transform}} для від'ємної [[Показникова функція|показникової функції]]:
 
:<math> \Gamma(z) = \{ \mathcal M e^{-x} \} (z)</math>
 
Гама функція є складовою різних функцій розподілу імовірностей, тож вона використовуються в таких областях як [[Імовірність|теорія імовірностей]] і [[статистика]], а також у [[Комбінаторика|комбінаториці]].
 
== Мотивування ==
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Гамма-функція