Відмінності між версіями «Комутативне кільце»

нема опису редагування
'''Комутативне кільце''' — [[кільце (алгебра)|кільце]], в якому операція [[множення]] є [[комутативність|комутативною]].
 
Вивченням кілець взагалі займається [[теорія кілець]] (частина [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]]). А вивченням комутативних кіцецькілець, їх [[Ідеал (алгебра)|ідеалів]] та [[модуль над кільцем|модулів]] над такими кільцями займається [[комутативна алгебра]].
 
[[Алгебрична геометрія]] та [[Алгебрична теорія чисел]] базуються саме на комутативній алгебрі.
Деякі підвиди комутативних кілець (перечислені в порядку від загальніших до більш спеціалізованих):
: '''комутативне кільце''' ⊃ '''[[область цілісності]]''' ⊃ '''[[Цілозамкнена область]]''' ⊃ '''[[факторіальне кільце]]''' ⊃ '''[[кільце головних ідеалів]]''' ⊃ '''[[евклідове кільце]]''' ⊃ '''[[поле (алгебра)|поле]]'''.
 
==Визначення і приклади==
 
===Визначення===
{{details|topic=the definition of rings|Кільце (алгебра)}}
''Кільце'' це [[множина]] ''R'', що містить додатково дві [[Бінарна операція|бінарні операції]], тобто операції, що поєднують будь-які два елементи кільця у третій елемент. Ці операції називаються ''додавання'' і ''множення'' і як правило позначаються символами "+" і "⋅"; тобто {{nowrap|''a'' + ''b''}} і {{nowrap|''a'' ⋅ ''b''}}. Щоб утворювати кільце ці операції повинні задовольняти декільком властивостям: кільце повинно бути [[Абелева група|абелевою групою]] відносно додавання, а також [[моноїд]]ом відносно множення, де множення є [[Дистрибутивність|дистрибутивним]] відносно додавання; тобто, {{nowrap|1=''a'' ⋅ (''b'' + ''c'') = (''a'' ⋅ ''b'') + (''a'' ⋅ ''c'')}}. Одиничні елементи для додавання і множення позначаються як 0 і 1, відповідно.
 
Якщо множення ж комутативним, тобто
:''a'' ⋅ ''b'' = ''b'' ⋅ ''a'',
тоді кільце ''R'' називають ''комутативним''.
 
== Див. також ==
7915

редагувань