|
==== Секційні кривини обмежені зверху ====
# '''[[Теорема Адамара — Картана]]''' стверджує, що повний [[Однозв'язна область|однозв'язний]] Ріманів многовид ''M'' з від'ємною секційною кривиною дифеоморфний [[Евклідів простір|Евклідовому простору]] '''R'''<sup>''n''</sup> з ''n'' = dim ''M'' за допомогою {{нп5нп|Експоненціальне відображення|експоненціального відображення|en|Exponential map (Riemannian geometry)}} в будь-якій точці. Це означає, що будь-які дві точки однозв'язних повних ріманових многовидів з від'ємною секційною кривиною з'єднані єдиною [[Геодезична лінія|геодезичною кривою]].
# [[Геодезична лінія|Геодезичний потік]] будь-якого компактного ріманового многовиду з від'ємною секційною кривиною [[Ергодичність|ергодичний]].
# Якщо ''M'' є повним рімановим многовидом з секційною кривиною, обмеженою зверху строго від'ємною константою ''k'' то це {{нп5нп|CAT(k) простір|CAT(''k'') простір|en|CAT(k) space}}. Тому, його [[фундаментальна група]] ''Γ'' = π<sub>1</sub>(''M'') є {{нп5нп|Гіперболічна група|гіперболічною групою Громова|en|Hyperbolic group}}. Це має багато наслідків для структури фундаментальної групи:
::* вона [[Задання групи|скінченно представлена]];
::* {{нп5нп|Проблема тотожності|проблема тотожності|en|Word problem for groups}} для ''Γ'' має позитивне рішення;
::* група ''Γ'' має скінченну віртуальну {{нп5нп|Когомологічна розмірність|когомологічну розмірність|en|Cohomological dimension}};
::* вона містить лише скінченну кількість {{нп|Клас спряженості|класів спряженості||Conjugacy class}} {{нп|Кручення (алгебра)|елементів кінцевого порядку||Torsion (algebra)}};
::* [[Абелева група|Абелеві]] підгрупи ''Γ'' є [[Циклічна група|фактично циклічними]], так що вона не містить підгрупу ізоморфічну '''Z'''×'''Z'''.
==== Кривина Річчі обмежена знизу ====
# '''{{нп5|[[Теорема Майерса||en|Myers's theorem}}]].''' Якщо компактний ріманів многовид має додатну кривину Річчі, то його [[фундаментальна група]] скінченна.
# '''{{нп5нп|Теорема розщеплення||en|Splitting theorem}}.''' Якщо повний ''n''-мірний Ріманів многовид має невід'ємну кривину Річчі і пряму лінію (тобто [[Геодезична лінія|геодезичну]], яка мінімізує відстань на кожному відрізку), то він ізометрічний прямому добутку числової прямої <math>\mathbb{R}</math> та повного (''n''-1)-мірного ріманового многовиду, з невід'ємною кривиною Річчі.
# '''{{нп5нп|Нерівність Бішопа-Громова||en|Bishop–Gromov inequality}}.''' Об'єм метричної кулі з радіусом ''r'' в повному ''n''-вимірному рімановому многовиді з додатною кривиною Річчі не перевищує об'єм кулі того ж радіуса ''r'' в Евклідовому просторі.
# '''{{нп5нп|Теорема Громова про компактність||en|Gromov's compactness theorem (geometry)}}.''' Множина ріманових многовидів з додатними кривинами Річчі, діаметром не більше ''D'' є [[Метричний простір|пред-компактом]] в {{нп5нп|метрика Громова-Хаусдорфа|метриці Громова-Хаусдорфа|en|Gromov–Hausdorff convergence}}.
==== Від'ємна кривина Річчі ====
| 