Відмінності між версіями «Нерівність Єнсена»

м
Мітки: Візуальний редактор перше редагування
 
=== Дискретний випадок ===
Якщо ''λ''<submath>1\lambda_1</submath> і ''λ''<submath>2\lambda_2</submath>&nbsp;— два довільні додатніневід'ємні дійсні числа, такі, що: ''λ''<submath>\lambda_1+\lambda_2=1,</submath>&nbsp;+&nbsp;''λ''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;1 тодіто, враховуючи [[опукла функція|опуклість]] <math>\scriptstyle\varphi,</math> маємо:
 
: <math>\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)\ \forall x_1,\,x_2.</math>
 
Цю нерівність можна узагальнити: якщо ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, …, ''λ''<sub>''n''</sub> є додатниминевід'ємними дійсними числами, такими, що ''λ''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;…&nbsp;+&nbsp;''λ''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;1, тоді
 
: <math>\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\cdots+\lambda_n x_n)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)+\cdots+\lambda_n\,\varphi(x_n),</math>
для будь-яких ''x''<sub>1</sub>,&nbsp;…,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>.
 
Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений [[математична індукція|методом математичної індукції]]. Згідно з припущенням індукції твердження справедливе для ''n''&nbsp;=&nbsp;2. Припустимо, що воно справедливе для певного даного ''n'' і потрібно довести нерівність для ''n''&nbsp;+&nbsp;1. Принаймні одне ''λ''<sub>''i''</sub> є строго додатнім, припустимо, що це (без втрати загальності) ''λ''<sub>1</sub>. За означенням [[опукла функція|опуклості]]:
 
: <math>\varphi\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right)= \varphi\left(\lambda_1 x_1+(1-\lambda_1)\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+(1-\lambda_1) \varphi\left(\sum_{i=2}^{n+1}\left( \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\right).</math>
1

редагування