Вікіпедія

Область голоморфності: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[перевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
SOMBot (обговорення | внесок)
Боти
166 258 редагувань
м ізольована стаття кільце2
м Заміна застарілого математичного синтаксису відповідно до mw:Extension:Math/Roadmap
Рядок 12:
 
Область <math>\Omega</math>називається областю голоморфності, якщо для кожної точки <math>z \in \partial \Omega</math>існує функція <math>f \in \mathcal O(\Omega),</math>що не продовжується в точці <math>z.</math>Іноді при таких еквівалентних означеннях область називається '''слабкою областю голоморфності,''' а областю голоморфності область для якої існує функція <math>f \in \mathcal O(\Omega),</math> що не продовжується в жодній точці <math>z \in \partial \Omega.</math>Насправді обидва ці означення є еквівалентними.
:''Зауваження.'' Якщо <math>\Omega</math> не є областю голоморфності, то не обов'язково <math>f=f_2</math> у всій множині <math>\Omega \cap V,</math> якщо ця множина не є зв'язаною. Наприклад нехай <math>\CComplex^2 \supset \Omega = R \cup H \cup P,</math> де:
::<math>R = \{ \{z \in \CComplex \ |\ 1/2 < |z-2| < 3/2 \} \setminus \{ z \in \R \ | \ z < 2 \} \} \times \{w \in \CComplex \ |\ |w| < 1/4\},</math>
::<math>H = \{ \{(z,w) \in \CComplex^2 \ |\ |z| < 1/2 \} \cup \{ \{(z,w) \in \CComplex^2 \ |\ 1/2 < |w| < 1 \}, </math>
::<math>P = \{(z,w) \in \CComplex^2 \ |\ 1 - \epsilon |z| < 1 \ \andland \ \Re (z) > 0 \ \andland \ |w| < 1\}.</math>
: Тоді <math>H</math> є областю Рейнхарта і будь яка функція голоморфна на <math>H</math> однозначно аналітично продовжується на <math>D = \{(z,w) \in \CComplex^2 \ |\ |z| < 1 \ \andland \ |w| < 1\}.</math> Це стосується, зокрема, і всіх функцій <math>f \in \mathcal O(\Omega)</math> і тому <math>\Omega</math> не є областю голоморфності. Проте, наприклад, для гілки функції <math>f(z,w) = \sqrt{z-2}</math> на <math>\Omega</math> можна ввести дві гілки квадратного кореня, що будуть голоморфними на <math>\Omega.</math> Обравши одну з них (наприклад ту, що відповідає додатним кореням із додатних дійсних чисел) із <math>H</math> її можна продовжити до функції <math>f_2</math> на <math>D.</math> Проте <math>f</math> не може дорівнювати <math>f_2</math> на <math>D \cap \Omega.</math> Справді, наприклад, в малому околі точки <math>0.81, 1/8</math> у <math>D</math> функція приймає комплексні значення близькі до 0.9, а в <math>R</math> (і тому <math>\Omega</math>), як значення близькі до 0.9, так і значення близькі до -0.9.
 
== Еквівалентні умови ==
Рядок 22:
 
# <math>\Omega</math> є областю голоморфності
# <math>\Omega</math> є [[Голоморфно опукла оболонка|голоморфно опуклою]], тобто для компактної підмножини <math>k \subset \Omega</math> її голоморфно опукла оболонка теж компактно належить області, тобто <math> K \Subset \Omega \Longrightarrow \hat{K}_{\mathcal{O}(\Omega)} \Subset \Omega. </math> Еквівалентно можна надати таку характеристику: <math>\rho(K, \partial \Omega) = \rho(\hat{K}, \partial \Omega),</math> де для двох підмножин <math>A,B \subset \CComplex^n</math> відстань <math>\rho = \inf_{z \in A, \bar z \in B} \rho (z,\bar z),</math> а відстань між точками <math>z = (z_1,\ldots, z_n), \bar z = (\bar z_1,\ldots, \bar z_n) </math> задається як <math>\rho (z,\bar z) = \max_{i \in 1,\ldots, n} |z_i - \bar z_i|.</math>
# Для кожної [[Нескінченна множина|нескінченної множини]] <math>D \subset \Omega,</math> що не має [[Гранична точка|граничних точок]] у <math>\Omega</math> існує функція <math>f \in \mathcal O(\Omega),</math> що є необмеженою на множині <math>D.</math>
# <math>\Omega</math> є [[Псевдоопукла область|псевдоопуклою]], тобто існує [[Неперервна функція|неперервна]] [[Плюрісубгармонічна функція|плюрісубгармонічна]] функція <math>\varphi</math> на <math>\Omega</math>для якої замикання множини <math>\{ z \in \Omega \mid \varphi(z) < x \}</math>є компактним для всіх <math>x \in \R.</math>Більш конкретно можна взяти функцію <math>\varphi(z) := \rho(z, \partial \Omega).</math>Область буде областю голоморфності тоді і тільки тоді, коли ця функція буде плюрісубгармонічною на <math>\Omega</math>.
#<math>\Omega</math> є '''псевдоопуклою за Гартогсом''' — для довільної загальної фігури Гартогса <math>(P, H),</math>якщо <math>H \subset \Omega,</math>то також <math>P \subset \Omega.</math>Тут фігурою Гартогса називається [[полікруг]] <math>P</math>всі елементи мультирадіуса для якого є рівними 1 і <math>H = \{z \in P \ | \ q_1 < |z_1|\}\ \cup \
\{z \in P \ | \ |z_i| < q_i, \ \forall i \in 2, \ldots, n \}</math>для деяких чисел <math>0 < q_i < 1, \ i \in 1, \ldots, n.</math>Загальною фігурою Гартогса називається образи елементів фігури Гартогса при біголоморфному відображенні.
# <math>\Omega</math> є '''опуклою за Леві''' — для кожної [[Послідовність|послідовності]] <math>S_{n} \subseteq \Omega</math> голоморфних компактних поверхонь (тобто [[Обмежена множина|обмежених]] множин, що є [[Замикання (топологія)|замиканнями]] множин виду <math>\varphi(\Delta),</math> де <math>\varphi</math> — голоморфне невироджене відображення, а <math>\Delta \subset \CComplex^m</math> — область) <math>S_{n} \rightarrow S, \partial S_{n} \rightarrow \Gamma</math> для деякої множини <math>\Gamma \subset \Omega</math> виконується <math>S \subseteq \Omega</math> (<math>\partial \Omega</math> не можна торкнутися з середини послідовністю аналітичних поверхонь)
# <math>\Omega</math> задовольняє '''локальну властивість Леві''' — для кожної точки <math>x \in \partial \Omega</math> існує [[окіл]] <math>U</math> точки <math>x</math> і функція <math>f</math> голоморфна на <math>U \cap \Omega</math> для якої не існує не існує [[Аналітичне продовження|аналітичного продовження]] на будь-який окіл точки <math>x.</math>
 
Рядок 53:
 
* Довільна [[Опукла множина|опукла]] область є голоморфно опуклою, а тому областю голоморфності.
* Будь-яка область <math>\Omega \subset \CComplex</math> є областю голоморфності.
* Будь яка область виду <math>\Omega = \Omega_1 \times \ldots \times \Omega_m</math>де <math>\Omega_i \subset \CComplex</math>є областю голоморфності, зокрема довільний [[полікруг]], що є добутком [[Круг|кругів]] є областю голоморфності.
* [[Область Рейнхарта]] є областю голоморфності тоді і тільки тоді коли вона є повною і логарифмічно опуклою.
* Якщо <math>V_1, \ldots, V_m \subset \CComplex</math> є областями, <math>f_1, \ldots, f_m </math>— голоморфними функціями в області <math>U \subset \CComplex^n</math> і замикання множини <math>P := \{z \in U \ | \ f_i(z) \in V_i, \ i \in 1,\ldots,n\}</math>є компактною підмножиною <math>U,</math> то <math>P</math> є обастю голоморфності. <math>P</math> називається ''аналітичним поліедром.''
 
== Див. також ==
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Область_голоморфності