Вікіпедія

Система лінійних алгебраїчних рівнянь: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[перевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
м Замініть застарілий математичний синтаксис відповідно до mw:Extension:Math/Roadmap
Рядок 34:
== Матричний запис ==
Векторна форма еквівалентна матричній формі запису
:<math>A\boldmathbf{x}=\boldmathbf{b}</math>
де '''A''' — [[Матриця (математика)|матриця]] ''m×n'', '''x''' — [[Вектор (математика)|вектор]] з ''n'' компонент, '''b''' — вектор з ''m'' компонент.
:<math>A=
Рядок 43:
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad
\boldmathbf{x}=
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{bmatrix},\quad
\boldmathbf{b}=
\begin{bmatrix}
b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m
Рядок 69:
 
Система лінійних алгебраїчних рівнянь
: <math> A \boldmathbf{x} \ = \boldmathbf{b} </math>
 
еквівалентна системі
 
: <math> C A \boldmathbf{x} \ = C \boldmathbf{b} </math>,
 
де <math> C </math> - [[невироджена матриця]].
 
Зокрема, якщо сама матриця <math> A </math> - невироджена, і для неї існує [[обернена матриця]] <math> A^{-1} </math>, то розв'язок системи рівнянь можна формально записати у вигляді
:<math> \boldmathbf{x} = A^{-1} \boldmathbf{b} </math>.
 
== Методи розв'язання ==
Рядок 96:
{{Main|Ітераційні методи розв'язування СЛАР}}
Ітераційні методи встановлюють процедуру уточнення певного початкового наближення до розв'язку. При виконанні умов [[Границя|збіжності]] вони дозволяють досягти будь-якої точності просто повторенням [[ітерація|ітерацій]]. Перевага цих методів у тому, що часто вони дозволяють досягти розв'язку з наперед заданою точністю швидше, а також розв'язувати більші системи рівнянь. Суть цих методі полягає в тому, щоб знайти [[нерухома точка|нерухому точку]] матричного рівняння:
:<math> \boldmathbf{x} = A^\prime \boldmathbf{x} + \boldmathbf{b}^\prime </math>,
 
еквівалентного початковій системі лінійних алгебраїчних рівнянь. При ітерації <math> \boldmathbf{x} </math> в правій частині рівняння заміняється, наприклад, у [[метод Якобі|методі Якобі (метод простої ітерації)]] на наближення, знайдене на попередньому кроці:
:<math> \boldmathbf{x}_{n+1} = A^\prime \boldmathbf{x}_n + \boldmathbf{b}^\prime </math>.
 
Збіжність ітераційної процедури досягається вибором матриці <math> A^\prime </math>, що залежить від задачі. Умови збіжності конкретні для кожного конкретного методу.
Рядок 119:
Поряд з рівняннями суттєву роль у всіх розділах сучасної математики грають нерівності. Розв'язання багатьох задач зводиться до розв'язання нерівностей або їхніх систем.
 
Нерівність <math>F(x_1, x_2,...,x_n)\orlor\Phi(x_1,x_2,...,x_n)</math> (1) називають алгебраїчною, якщо функції <math>F(x_1,x_2,...,x_n)</math> та <math>\Phi(x_1,x_2,...,x_n)</math> - многочлени відповідно степеня m з n невідомими. Зокрема, якщо <math>F(x_1,x_2,...,x_n)</math> та <math>\Phi(x_1,x_2,...,x_n)</math> - лійнійні функції, тобто многочлени першого степеня, то нерівність (1) називається лінійною. Інакше кажучи, лінійними називають нерівності, у яких невідомі тільки першого степеня. Такими, наприклад, є нерівності <math>x+2,32y-z- \sqrt 3 \geqslant 0 </math> та <math>9097580232x+98052y-89512\leqslant0</math>. Перше з них - лінійна нерівність з трьома невідомими, друга - з двома.
 
Лінійна нерівність з n невідомими у загальному вигляді записується так:
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Система_лінійних_алгебраїчних_рівнянь