Гільбертів простір: відмінності між версіями

[перевірена версія][перевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
м Замініть застарілий математичний синтаксис відповідно до mw:Extension:Math/Roadmap
Рядок 3:
== Означення ==
''Гільбертовим простором'' називається<ref name="eom">http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_space</ref><ref>В.М.Кадец,
Курс функционального анализа, Х:Видавництво [[Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна|ХНУ]], 2004 - с.290</ref> [[векторний простір]] <math>H</math>над полем [[Дійсні числа|дійсних]] або [[комплексні числа|комплексних чисел]] разом зі скалярним добутком - функцією від двох змінних <math> (\cdot,\cdot):H\times H\to \R</math>(або <math>\CComplex</math>, у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:
# <math>(x,x)\geq0</math> для кожного <math>x\in H</math>
# <math>(x,x)=0</math> тоді і лише тоді, коли <math>x=0</math>
# <math>(x+y,z)=(x,z)+(y,z)</math> для довільних трьох <math>x,y,z\in H</math>
# <math>(\alpha x,y)=\alpha(x,y)</math>, де <math>x,y\in H</math>, <math>\alpha</math> - елемент скалярного поля. (<math>\R</math> або <math>\CComplex</math>)
# <math>(x,y)=\overline{(y,x)}\ x,y\in H</math>
# Для довільної послідовності <math>x_n\in H,\ n=1,2,\ldots, </math>, для якої виконано (умова фундаментальності)
Рядок 21:
Слід зазначити, що умова '''6''' означає [[Повний метричний простір|повноту]] простору відносно [[Норма (математика)|норми]], заданої, як <math> \|x\| = \sqrt{(x,x)}</math> (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно [[банахів простір|банаховим простором]] (тобто, повним [[нормований простір|нормованим]] векторним простором) із нормою <math> \|x\| = \sqrt{(x,x)}</math>.
 
Гільбертів простір є узагальненням для випадку нескінченної розмірності як [[Евклідів простір|евклідового простору]] <math>\R^n</math> так і [[Ермітів простір|ермітового простору]] <math>\CComplex^n.</math>
 
'''Передгільбертів простір''' — векторний простір зі скалярним добутком (умови '''1'''-'''5'''). Умови [[повний простір|повноти простору]] '''6''' немає, тому він, загалом, не є банаховим.