Вікіпедія

Метричний тензор: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Немає опису редагування
Немає опису редагування
Рядок 153:
= g^{ip} \nabla_k \delta^j_p = 0</math>
 
== Метричний тензор як образ многовида, та аналогія із задачами машинного зору ==
 
Метричний тензор <math>g_{ij}</math> можна розглядати як набір <math>N = {n (n+1) \over 2}</math> функцій від координат <math>\{ u^1, u^2, \dots u^n \}</math>. Оскільки ми можемо брати різні системи координат для одного й того ж многовида, то ми матимемо і різний набір функцій. Це еквівалентно тому, як ми можемо сфотографувати один і той самий предмет під різними ракурсами. В загальному випадку задача розпізнати по двох фотографіях, що ми бачимо один і той же об'єкт, виявляється дуже складною для комп'ютера, універсальний алгоритм розпізнавання ще невідомий. Те саме з метричним тензором - маючи два набори <math>N = {n (n+1) \over 2}</math> функцій ми не можемо відразу сказати, чи представляють вони один і той же многовид у різних системах координат. Хоча
Але тензору Рімана може в напростішихдвох випадках вирішитицей цюаналіз проблему,виявляється наприкладнескладним.

=== для многовидівПростір постійної кривини. <br>===
Перший простий випадок — це простір постійної кривини, в якому [[Тензор Рімана|тензор Рімана]] пропорційний метричній матрьошці четвертого рангу з постійним коефіцієнтом пропорційності <math>K</math>:
: <math>(46) \qquad R_{ijkl} = K g_{ij, kl} = K \left (g_{ik} g_{jl} - g_{il} g_{jk} \right )</math>
Ми можемо перевірити для двох наборів функцій <math>g_{ij}(u^1, u^2, \dots u^n)</math>, і <math>\hat g_{ij}(u^1, u^2, \dots u^n)</math> чи задовольняють вони рівняння (46) з одним і тим же коефіцієнтом <math>K</math>. Продовжуючи аналогію з фотографіями, це еквівалентно, що ми маємо дві рівномірно засвічені фотографії, всі пікселі бітмапи дорівнюють одному і тому ж числу.
 
=== Мала деформація системи координат ===
Другий простий випадок - коли система координат зміщується на малий вектор <math>v^i</math>:
: <math>(4647) \qquad \hat u^i = u^i + v^i</math>
Малість зміщення означає, що ми можемо розкласти функції метричного тензора в ряд Тейлора і обмежитися лінійним членом:
: <math>(4748) \qquad \hat g_{ij} (\hat u) = \hat g_{ij} (u) + v^k \partial_k \hat g_{ij}</math>
Знайдемо варіацію компонент метричного тензора (різниця функцій при одних і тих же аргументах):
: <math>(4849) \qquad \delta g_{ij} = \hat g_{ij} (u) - g_{ij} (u)</math>
Підставимо (4849) в (4748):
: <math>(4950) \qquad \hat g_{ij} (\hat u) = g_{ij} + \delta g_{ij} + v^k \partial_k g_{ij}</math>
Далі, запишемо формулу заміни координат:
: <math>(5051) \qquad g_{ij} = {\partial \hat u^k \over \partial u^i}{\partial \hat u^l \over \partial u^j} \hat g_{kl}</math>
Матриці переходу для функцій (47) легко обчислюються:
: <math>(52) \qquad {\partial \hat u^k \over \partial u^i} = \delta^k_i + \partial_i v^k</math>
Підставимо (52) і (50) в (51):
: <math>(53) \qquad g_{ij} = \left (\delta^k_i + \partial_i v^k \right ) \left (\delta^l_j + \partial_j v^l \right )
\left (g_{kl} + \delta g_{kl} + v^s \partial_s \hat g_{kl} \right)</math>
Розкриємо дужки, зберігаючи лише постійні та лінійні по <math>v^i</math> доданки. Після скорочень одержуємо:
: <math>(54) \qquad 0 = \delta g_{ij} + \left ( \partial_i v^k \right) g_{kj} + \left ( \partial_j v^l \right) g_{il} +
\left (\partial_s g_{ij} \right ) v^s = 0</math>
звідки
: <math>(55) \qquad \delta g_{ij} = - \left (\nabla_i v_j + \nabla_j v_i \right )</math>
Ця формула застосовується для виводу [[Слабке гравітаційне поле|лінеаризованого рівняння Ейнштейна]] в теорії гравітації. Аналогом цього випадку в машинній обробці зображень є алгоритм [[Лінійне стеження|лінійного стеження]] за рухомими об'єктами по двох суміжних кадрах відеокамери. Дана аналогія лише концептуальна, формули виходять різні.
 
== Дивіться також ==
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Метричний_тензор