Принцип еквівалентності: відмінності між версіями

нема опису редагування
Немає опису редагування
Подивимось, як цей принцип відображається у формулах. Для цього розглянемо ''[[світова лінія|світову лінію]]'' [[матеріальна точка|матеріальної точки]] з [[маса|масою]] <math>m</math>. Натуральний параметр цієї лінії позначимо <math>s</math>, він пропорційний [[Власний час|власному часу]] матеріальної точки <math>\tau</math>:
: <math>(1) \qquad s = c \tau</math>
де <math>c</math> - [[швидкість світла]]. Різниця <math>d s</math> натурального параметра в двох близьких точках чотиривимірного простору-часу називається просторово-часовим інтервалом. Він повязанийпов'язаний з приростами координат наступною формулою:
: <math>(2) \qquad (d s)^2 = c^2 (d \tau)^2 = g_{ij} d x^i d x^j</math>
Одиничний дотичний вектор <math>\nu^i</math> до світової лінії є справжнім чотиривектором; він виражається через чотиривектор швидкості <math>v^i = {d x^i \over d \tau}</math>:
: <math>(4) \qquad k^i = {D \nu^i \over D s} = {d^2 x^i \over d s^2} + \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d s} {d x^k \over d s}</math>
 
В спеціальній теорії відносності прискорення матеріальної точки було повязанепов'язане із силою наступною формулою:
: <math>(5) \qquad m {d^2 x^i \over d \tau^2} = F^i</math>
Оскільки в спеціальній теорії відносності символи Крістофеля дорівнюють нулю, то ми можемо замість другої похідної по часу підставити вектор кривини <math>k^i</math> з відповідним коефіцієнтом, і узагальнити (5) до наступної тензорної формули:
''Мимохідь можна побачити такий цікавий геометричний факт: геодезична кривина світової лінії (розмірність обернена до відстані) дорівнює силі, поділеній на енергію спокою:''.
: <math>(7) \qquad k^i = {F^i \over m c^2}</math>
Сила тяжіння і сили інерції описуються одним доданком в формулі (6), повязанимпов'язаним із символами Крістофеля. Перепишемо (6), перенісши цей доданок в праву частину рівняння, і позначимо цю несправжню силу <math>\tilde F^i</math> (еф з тільдою):
: <math>(8) \qquad m {d^2 x^i \over d \tau^2} = - m_0 \Gamma^i_{jk} {d x^j \over d \tau} {d x^k \over d \tau} + F^i = \tilde F^i + F^i</math>
 
<math>\ M_{\alpha \beta} = M^{0}_{\alpha \beta} \sum_{n}\frac{f_{n}\eta_{n}p^{\mu}_{n}p^{\nu}_{n} \varepsilon_{\mu \nu}(q)}{(q \cdot p_{n})}</math>.
 
Тут <math>\ p_{n}</math> - 4-імпульс зовніщньоїзовнішньої частинки, <math>\ \eta_{n} = \pm 1</math> дорівнює одиниці для кінцевої частинки і мінус одиниці для початкової, <math>\ f_{n}</math> - константа взаємодії даної <math>\ n</math>-тої частинки та гравітонів, <math>\ \varepsilon_{\mu \nu}(q)</math> - поляризаційний тензор гравітона, <math>\ M^{0}_{\alpha \beta}</math> - амплітуда процесу без врахування випромінювання "м'яких" гравітонів.
 
Умова лоренц-інваріантності процесу вимагає, щоб
117 171

редагування