Вікіпедія

Функції Бесселя: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[перевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Uawikibot1 (обговорення | внесок)
Боти
124 500 редагувань
м Заголовок статті знайдений як посилання
<math>\alpha</math>
Рядок 1:
[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|Даніель Бернуллі]]
[[Файл:Friedrich Wilhelm Bessel.jpeg|thumb|Фрідріх Бессель]]
'''Функції Бесселя''' в [[математика|математиці]] — сімейство функцій, що є канонічними розв'язками диференціального [['''рівняння Бесселя]]''':
: <math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,</math>
де α<math>\alpha</math> — довільне дійсне число, зване порядком. Найчастіше використовувані функції Бесселя — функції цілих та напівцілих порядків.
 
Хоча α,<math>\alpha</math> &nbsp;і −α<math>-\alpha</math> породжують однакові рівняння, зазвичай домовляються про те, щоб їм відповідали різні функції (це робиться, наприклад, для того, щоб функція Бесселя була гладкою по α<math>\alpha</math>).
 
Функції Бесселя вперше були визначені швейцарським математиком [[Бернуллі Даніель|Даніелем Бернуллі]], а названі на честь [[Фрідріх Вільгельм Бессель‎|Фрідріха Бесселя]].
Рядок 22:
 
=== Функції Бесселя першого роду ===
Функціями Бесселя першого роду, що позначаються <math>J_\alpha(x)</math>, є розв'язки, скінчені в точці <math>x=0</math> при цілих або невід'ємних α<math>\alpha</math>. Вибір конкретної функції й її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладання в [[ряд Тейлора]] біля нуля (або в загальніший [[степеневий ряд]] при нецілих α<math>\alpha</math>):
: <math> J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} </math>
 
Рядок 30:
[[Файл:BesselJ_plot.svg|center|450px|Графік функції Бесселя першого роду J]]
 
Якщо α<math>\alpha</math> не є цілим числом, функції <math>J_\alpha (x)</math> і <math>J_{-\alpha} (x)</math> лінійно незалежні і, отже, є розв'язками рівняння. Але якщо α<math>\alpha</math> ціле, то правильне таке співвідношення:
: <math>J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,</math>
 
Рядок 36:
 
=== Інтеграли Бесселя ===
Можна надати інше визначення функції Бесселя для цілих значень α<math>\alpha</math>, використовуючи інтегральне зображення:
: <math>J_\alpha (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}\!\cos (\alpha \tau - x \sin \tau)\,d\tau</math>
 
Рядок 46:
Функції Бесселя другого роду — розв'язки <math>Y_\alpha(x)</math> рівняння Бесселя, нескінченні в точці <math>x=0</math>.
 
<math>Y_\alpha(x)</math> також іноді називають функцією [[Джон фон Нейман|Неймана (Ньюмана)]] і позначають як <math>N_\alpha(x)</math>. Ця функція пов'язана з Jα<math>J_\alpha(x)</math> таким співвідношенням:
: <math>Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},</math>
де у разі цілого α<math>\alpha</math> береться границя по α<math>\alpha</math>, обчислювана, наприклад, за допомогою [[правило Лопіталя|правила Л'Опіталя]].
 
Нижче приведені графіки <math>Y_\alpha (x)</math> для <math>\alpha = 0, 1, 2</math>:
Рядок 55:
== Властивості ==
=== Асимптотика ===
Для функцій Бесселя відомі асимптотичні формули. При малих аргументах <math>(0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1})</math> і неівд'ємних α<math>\alpha</math> вони виглядають так:
: <math>J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha </math>
 
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Функції_Бесселя