Метричний тензор: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м робот додав: bg, cs, de, en, es, fi, fr, hu, it, ja, ko, nl, pl, pt, ru, sv, ur, zh |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
==
Величини, які стосуються геометрії - це відстані, довжини кривих, площі та об'єми (в тому числі <math>m</math>-вимірні об'єми) геометричних фігур, а також кути між векторами, прямими і т.д.
Рядок 32:
Тобто ми знову отримали формулу (6), але коефіцієнти даються іншими аніж (5) по виду, але аналогічними формулами:
: <math>(11) \qquad g_{ij} = (\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_j)</math>
Дійсно, розписавши скалярний добуток в (11) як суму попарних добутків компонент векторів <math>\mathbf{r}_i</math> і <math>\mathbf{r}_j</math>, ми одержимо (5), але кількість доданків буде взагалі кажучи більшою: <math>N \ge n</math>. Рівність досягається, коли многовид є евклідовим простором, який вміщено сам в себе.
== Перетворення при заміні координат ==
Нехай на многовиді задано ще одну (нову) систему координат <math>\{\hat u^1, \hat u^2, \dots \hat u^n \}</math>, координати якої ми позначимо шляпками, щоб відрізнити від старої системи координат. Ясно, що існує взаємно-однозначна відповідність між старою і новою системою координат через посередництво точок многовиду. А саме, набір якихось <math>n</math> чисел <math>\{u^1, u^2, \dots u^n \}</math> задає деяку точку <math>P</math> на многовиді, а ця точка <math>P</math> має координати <math>\{\hat u^1, \hat u^2, \dots \hat u^n \}</math> в новій системі координат. Цю відповідність ми можемо записати через набір функцій:
: <math>(12) \qquad \hat u^i = \hat u^i (u^1, u^2, \dots u^n)</math>
які виражають нові координати через старі. Оскільки ця відповідність взаємно-однозначна, то і навпаки, нові координати можна виразити через старі:
: <math>(13) \qquad u^i = u^i (\hat u^1, \hat u^2, \dots u^n) </math>
Ми вважатимемо ці функції диференційовними. Тоді диференціали цих координат (для двох нескінченно близьких точок) пов'язані формулами:
: <math>(14) \qquad d \hat u^i = {\partial \hat u^i \over \partial u^j} d u^j; \qquad
d u^i = {\partial u^i \over \partial \hat u^j} d \hat u^j</math>
Підставляючи (14) в (6), знаходимо:
: <math>(15) \qquad d s^2 = g_{ij} {\partial u^i \over \hat u^k} {\partial u^j \over \hat u^l} d \hat u^k d \hat u^l</math>
і коефіцієнти <math>\hat g_{kl}</math> метрики в новій системі координат дорівнюють
: <math>(16) \qquad \hat g_{kl} = g_{ij} {\partial u^i \over \partial \hat u^k} {\partial u^j \over \partial \hat u^l}</math>
З цієї формули ми бачимо, що коефіцієнти метрики утворюють двічі коваріантний тензор.
== Внутрішня геометрія і абстрактні многовиди ==
| |||