Вікіпедія

Границя числової послідовності: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Inna Z (обговорення | внесок)
8038 редагувань
Немає опису редагування
вікіфікація
Рядок 1:
[[FileФайл:Archimedes pi.svg|350px|right|thumb|alt=Зображення шестикутника і п'ятикутника описаних довкола кола|Послідовність представлена даними периметрами правильних [[Многокутник|багатокутників]] із ''n'' сторонами які описують [[одиничне коло]] при збільшенні кількості сторін має границю, яка дорівнює периметру кола, тобто <math>2\pi r</math>. Відповідна послідовність вписаних багатокутників має ту саму границю при збільшенні кількості сторін ''n''.]]
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:252px;">
Рядок 11:
|2||0.958851
|-
|colspan="2"|...…
|-
|10||0.998334
|-
|colspan="2"|...…
|-
|100||0.999983
Рядок 21:
</div>
<div class="thumbcaption">
Із тим як додатнє [[Цілі числа|ціле]] число <math>n</math> зростає, значення <math>n\cdot \sin\bigg(\frac1{n}\bigg)</math> стає довільно близьким до <math>1</math>. Тоді кажуть, що "«границя послідовності <math>n\cdot \sin\bigg(\frac1{n}\bigg)</math> дорівнює <math>1</math>."»
</div>
</div>
Рядок 28:
{{Otheruses|Границя (математика)}}
 
'''Границя числової послідовності''' &nbsp;— фундаментальне поняття [[математичний аналіз|математичного аналізу]], [[число]], до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індекса в сенсі наступного [[означення]]:
 
[[Дійсне число]] ''a'' називається [[границя|границею]] [[числова послідовність|числової послідовності]] <math>\{ a_n : n \geq 1 \} </math>, якщо
Рядок 38:
При цьому також кажуть, що ''послідовність <math>\{ a_n : n \geq 1 \} </math> збігається до числа a'', або ''має границю a''. Послідовність, що збігається до деякої границі називається ''збіжною'', в інших випадках&nbsp;— ''розбіжною''.
 
== Дійсні числа ==
[[FileФайл:Converging Sequence example.svg|320px|thumb|Графік послідовності {''a<sub>n</sub>''}, що збігається показано синім. Наочно ми бачимо, що послідовність збігається до границі, що дорівнює 0 при зростанні ''n''.]]
 
Для [[Дійсні числа|дійсних чисел]], число <math>L</math> є '''границею''' [[Послідовність|послідовності]] <math>(x_n)</math> якщо числа в цій послідовності стають все ближчими і ближчими до <math>L</math> і більше ні до якого іншого числа.
 
=== Приклади ===
* Якщо <math>x_n = c</math> при сталому значенні ''c'', тоді <math>x_n \to c</math>.<ref group=Доказ>''Доказ'': нехай <math>N = 1</math>. Для кожного every <math>n \geq N</math>, <math>|x_n - c| = 0 < \epsilon</math></ref>
* Якщо <math>x_n = \frac1{n}</math>, тоді <math>x_n \to 0</math>.<ref group=Доказ>''Доказ'': нехай <math>N = \left\lfloor\frac1{\epsilon}\right\rfloor</math> + 1 ([[Ціла частина числа|ціла частина з округленням вниз]]). Для кожного <math>n \geq N</math>, <math>|x_n - 0| \le x_N = \frac1{\lfloor1/\epsilon\rfloor + 1} < \epsilon</math>.</ref>
* Для будь-якого даного дійсного числа, можна побудувати послідовність яка буде збігатися до даного числа за допомогою десяткового наближення. Наприклад, послідовність <math>0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ...</math> буде збігатися до <math>1/3</math>. Варто відмітити, що десяткове представлення <math>0.3333...</math> є ''границею'' іншої послідовності, яка визначається наступним чином
: <math> 0.3333...\triangleq\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i}</math>.
 
* Процедура знаходження границі послідовності не завжди очевидна. Двома такими прикладами є <math>\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1{n}\right)^n</math> (границею якого є [[e (число)|число ''e'']]) і границя [[Середнє арифметико-геометричне|середнього арифметико-геометричного]]. Часто корисною для вирішення таких задач є [[стискна теорема]].
 
=== Формальне визначення ===
<math>x</math> називають '''границею''' числової [[Послідовність|послідовності]] <math>(x_n)</math>, якщо виконується наступна умова:
:* Для кожного [[Дійсні числа|дійсного числа]] <math>\epsilon > 0</math>, існує таке [[Натуральні числа|натуральне число]] <math>N</math> таке що, для кожного натурального числа <math>n \geq N</math>, будемо мати <math>|x_n - x| < \epsilon</math>.
Іншими словами, для кожної міри близькості <math>\epsilon</math>, елементи послідовності в кінцевому наближенні стають все ближчими до значення границі. Говорять, що послідовність <math>(x_n)</math> '''збігається до''' або '''прямує до''' границі <math>x</math>, і це записується як <math>x_n \to x</math> або <math>\lim_{n\to\infty}x_n = x</math>.
 
Рядок 69:
</gallery>
 
=== Властивості ===
Границі числових послідовностей дозволяють над собою застосовувати звичайні [[арифметичні операції]]. Якщо <math>a_n \to a</math> і <math>b_n \to b</math>, тоді <math>a_n+b_n \to a+b</math>, <math>a_n\cdot b_n \to ab</math> і, якщо ні ''b'' ні будь-яке з <math>b_n</math> не дорівнюють нулю, <math>\frac{a_n}{b_n} \to \frac{a}{b}</math>.
 
Для будь-якої [[Неперервна функція|неперервної функції]] ''f'', якщо <math>x_n \to x</math> тоді <math>f(x_n) \to f(x)</math>. Насправді, будь-яка [[Функція (математика)|функція]] ''f'' дійсних значень є неперервною тоді і тільки тоді, коли вона представляє собою границі послідовностей (хоча ця умова не завжди є необхідною, за умови застосування більш загального визначення неперервності).
Рядок 76:
Деякими іншими важливими властивостями границь послідовностей дійсних чисел є наступні (у кожному приведеному знизу рівнянні передбачається, що границі для правих частин виразів існують).
 
* Границя послідовності є унікальною.
* <math>\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n</math>
* <math>\lim_{n\to\infty} c a_n = c \cdot \lim_{n\to\infty} a_n</math>
* <math>\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = (\lim_{n\to\infty} a_n)\cdot( \lim_{n\to\infty} b_n)</math>
* <math>\lim_{n\to\infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}{\lim\limits_{n\to\infty} b_n}</math> за умови, що <math>\lim_{n\to\infty} b_n \ne 0</math>
* <math>\lim_{n\to\infty} a_n^p = \left[ \lim_{n\to\infty} a_n \right]^p</math>
* Якщо <math>a_n \leq b_n</math> для всіх <math>n</math> є більшою ніж деяке <math>N</math>, тоді <math>\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n </math>
* ([[Стискна теорема]]) Якщо <math>a_n \leq c_n \leq b_n</math> для всіх <math>n > N</math>, і <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L</math>, {{pad|.5em}} тоді <math>\lim_{n\to\infty} c_n = L</math>.
* Якщо послідовність є ''обмеженою'' і ''монотонною'' тоді, вона є збіжною.
* Послідовність є збіжною, якщо кожна з її підпослідовностей є збіжною.
 
Ці властивості часто використовуються для доведення існування границі без необхідності безпосередньо доводити громіздке початкове формальне визначення. Як тільки було доведено, що
<math>\frac{1}{n} \to 0</math> стає легко довести, що <math>\frac{a}{b+\frac{c}{n}} \to \frac{a}{b}</math>, (<math>b \ne 0</math>), використовуючи наведені вище властивості.
 
=== Нескінченні границі ===
 
Говорять, що послідовність <math>(x_n)</math> '''прямує до нескінченності''', і позначають як <math>x_n \to \infty</math> або <math>\lim_{n\to\infty}x_n = \infty</math> якщо, для кожного ''K'', існує таке ''N'', що для кожного <math>n \geq N</math>, <math>x_n > K</math>; тобто, елементи послідовності зрештою є більшими ніж будь-яке постійне значення''K''. Аналогічно, <math>x_n \to -\infty</math> якщо, для кожного ''K'', існує таке ''N'', що для кожного <math>n \geq N</math>, <math>x_n < K</math>. Якщо послідовність прямує до нескінченності, або до мінус нескінченності, то така послідовність є розбіжною (однак, розбіжна послідовність не обов'язково повинна прямувати до мінус чи плюс нескінченності: візьмемо наприклад <math>x_n=(-1)^n</math>).
 
== Метричні простори ==
 
=== Визначення ===
 
Точка ''x'' [[Метричний простір|метричного простору]] (''X'', ''d'') є '''границею''' [[Послідовність|послідовності]] (''x<sub>n</sub>'') якщо, для всіх &epsilon; > 0, існує таке ''N'' при якому, для будь-якого <math>n \geq N</math>, <math>d(x_n, x) < \epsilon</math>. Це співпадає із визначенням, що було дане для дійсних чисел коли <math>X = \mathbb{R}</math> і <math>d(x, y) = |x-y|</math>.
 
=== Властивості ===
 
Для будь-якої [[Неперервна функція|неперервної функції]] ''f'', якщо <math>x_n \to x</math> тоді <math>f(x_n) \to f(x)</math>. Насправді, [[Функція (математика)|функція]] ''f'' є неперервною тоді і тільки тоді, коли вона представляє собою границі послідовностей.
 
Границі послідовностей є унікальними, якщо вони існують, оскільки окремі взяті точки лежать окремо і мають деяку додатну міру відстані між ними, тому для <math>\epsilon</math> що є меншим за половину цієї відстані, елементи послідовності не можуть бути в межах відстані <math>\epsilon</math> для двох точок одночасно.
 
== Топологічні простори ==
 
=== Визначення ===
 
Точка ''x'' топологічного простору (''X'', &tau;) є '''границею''' [[Послідовність|послідовності]] (''x<sub>n</sub>'') якщо, для кожного [[Окіл|околу]] ''U'' довкола ''x'', існує таке ''N'' при якому, для кожного <math>n \geq N</math>, <math>x_n \in U</math>. Це співпадає із визначенням, що було дане для метричних просторів, якщо (''X'',''d'') є метричним простором а <math>\tau</math> є топологією утвореною за допомогою ''d''.
 
Границя послідовності точок <math>\left(x_n:n\in \mathbb{N}\right)\;</math> у топологічному просторі ''T'' є особливим випадком [[Границя функції в точці#Functions on topological spaces|границі функції]]: областю визначення якої є <math>\mathbb{N}</math> у просторі <math>\mathbb{N} \cup \lbrace +\infty \rbrace</math> із {{нп|[[Індукована топологія|індукованою топологією|en|induced topology}}]] системи дійсних чисел [[Невласне число|розширеною до нескінченностей]], ранг дорівнює ''T'', а аргумент функції ''n'' прямує до +∞, яка в даному просторі є [[Гранична точка|граничною точкою]] для <math>\mathbb{N}</math>.
 
=== Властивості ===
 
Якщо ''X'' це [[Гаусдорфів простір]] тоді границі послідовностей є унікальними, якщо вони існують. Варто відмітити, що це не обов'язково так в загальному випадку; зокрема, якщо дві точки ''x'' і ''y'' є {{нп|Топологічна нерозрізненість|топологічно нерозрізнені|en|topologically indistinguishable}}, будь-яка послідовність яка збігається до ''x'' має збігатися до ''y'' і навпаки.
 
== Послідовності Коші ==
{{main|Фундаментальна послідовність}}
 
[[FileФайл:Cauchy sequence illustration.svg|350px|thumb|Графік фундаментальної послідовності Коші (''x<sub>n</sub>''), показана синім, як ''x<sub>n</sub>'' відносно ''n''. Наочно, ми бачимо що послідовність збігається до граничної точки з тим як елементи послідовності стають ближчими один до одного із збільшенням ''n''. В області [[Дійсні числа|дійсних чисел]] кожна послідовність Коші збігається до деякої границі.]]
 
Фундаментальна послідовність Коші, це така послідовність елементи якої врешті решт наближаються один до одного, після того як достатня кількість початкових елементів були відкинуті. Поняття послідовностей Коші є важливим при вивченні послідовностей в [[Метричний простір|метричних просторах]], і, зокрема, в [[Аналіз функцій дійсної змінної|аналізі функцій дійсної змінної]]. Одним із особливо важливим результатом в аналізі функцій дійсної змінної є ''критерій Коші щодо збіжності послідовностей'': Послідовність дійсних чисел збігається тоді і тільки тоді, коли вона є послідовністю Коші. Цей критерій залишається достовірним і у інших [[Повний метричний простір|повних метричних просторах]].
 
== Визначення для гіпердійсних чисел ==
Визначення границі, в якому застосовуються {{нп|гіпердійсні числа||en|hyperreal numbers}} формалізує інтуїтивне розуміння, що для "«дуже великого"» значення індекса послідовності, відповідний терм буде "«дуже близьким"» до границі. Точніше, послідовність дійсних чисел <math>(x_n)</math> прямує до ''L'' якщо для будь-якого нескінченного {{нп|Гіпернатуральні числа|гіпернатурального|en|hypernatural}}, елемент ''x''<sub>''H''</sub> є нескінченно наближеним до ''L'', тобто, різниця ''x''<sub>''H''</sub>&nbsp;−&nbsp;''L'' є [[Нескінченно мала величина|нескінченно малою величиною]]. Еквівалентно, ''L'' є {{нп|Стандартна частина|стандартною частиною|en|Standard part function}} ''x''<sub>''H''</sub>
 
: <math> L = {\rm st}(x_H).\,</math>
 
Таким чином, границю можна визначити за допомогою наступної формули:
 
: <math>\lim_{n \to \infty} x_n= {\rm st}(x_H),</math>
 
Де границя існує тоді і тільки тоді, коли права частина є незалежною від вибору нескінченного ''H''.
 
== Історія ==
Грецький філософ [[Зенон Елейський]] відомий тим, що сформулював [[Апорії Зенона|парадокси, що мають під собою процеси наближення до границі]].
 
Рядок 145:
В 18-му столітті, [[Математик|математики]] такі як [[Леонард Ейлер|Ейлер]] змогли успішно розрахувати суму деяких ''розбіжних'' рядів зупиняючи розрахунок в необхідний момент; вони не дуже турбувалися тим чи існує границя чи ні, доки це можна було розрахувати. Наприкінці століття, [[Жозеф-Луї Лагранж|Лагранж]] в своїй роботі ''Théorie des fonctions analytiques'' (1797) стверджував, що відсутність суворості у понятті перешкоджає подальшому розвитку числення. [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаусс]] у своєму етюді про [[Гіпергеометрична функція|геометричний ряд]] (1813) вперше чітко дослідив за яких умов ряд буде збіжним до границі.
 
Сучасне визначення границі (для будь-якого ε при якому існує індекс ''N'' такий що ...…) сформулювали [[Бернард Больцано]] (в роботі ''Der binomische Lehrsatz'', Прага 1816, що була мало помічена в той час) і [[Карл Вейєрштрасс]] в 1870-их.
 
== Література ==
Рядок 157:
 
== Примітки ==
{{примітки}}
<references/>
 
=== Доведення ===
{{Reflist|group=Доказ}}
 
Рядок 165:
{{Портал|Математика}}
* [[Теорема Штольца]]
* [[Від'ємний і додатний нуль‎нуль]].
 
{{Math-stub}}
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Границя_числової_послідовності