Густина ймовірності: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
оформлення, вікіфікація |
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
[[Файл:Boxplot vs PDF.svg|thumb|350px|[[Коробковий графік]] і функція густини імовірності для [[Нормальний розподіл|нормального розподілу]] {{nowrap|''N''(0, ''σ''<sup>2</sup>)}}.]]
{{Otheruses|Густина (значення)}}
'''Густина імовірності''' — один із способів завдання [[Імовірність|ймовірнісної міри]] на [[Евклідів простір|евклідовому просторі]] <math>\mathbb{R}^n</math>. У випадку, коли ймовірнісна міра є [[Розподіл ймовірностей|розподілом випадкової величини]], говорять про '''щільність [[Випадкова величина|випадкової величини]]'''.▼
'''Густина імовірності''' або '''щільність''' [[Розподіл ймовірностей|неперервної випадкової величини]] — це [[Функція (математика)|функція]], що визначає [[Імовірність|ймовірнісну міру]] ''відносної правдоподібності'', того що значення випадкової величини буде відповідати заданій події, для кожної окремої події (або точки) у [[Простір елементарних подій|просторі подій]] (множини всіх можливих значень, які може приймати випадкова величина). Іншими словами, в той час як ''абсолютна правдоподібність'' що неперервна випадкова величина може прийняти одне конкретне значення дорівнює 0 (оскільки існує нескінченна множина можливих значень), значення функції щільності в двох окремих точках можна використати аби припустити, наскільки імовірніше ця випадкова величина дорівнювати одному значенню в порівнянні з іншим.
У більш точному розумінні, функція густини імовірності використовується для визначення ймовірність того, що [[Випадкова величина|випадкова величина]] потрапить у ''заданий діапазон значень'', замість того щоб визначати чи прийме вона одне конкретне значення. Ця ймовірність задається за допомогою [[інтеграл]]а функції густини цієї величини по тому діапазону—тобто, вона задає площу що обмежена функцією густини і горизонтальною віссю координат і обмеженою заданим діапазоном. Функція густини імовірностей є невід'ємною по всій області визначення, а її інтеграл по всьому простору подій дорівнює одиниці.
▲
==Приклад==
Припустимо, що представники бактерій зазвичай живуть від 4 до 6 годин. Яка ймовірність того, що бактерія житиме {{em|точно}} 5 годин? Відповідь - ця імовірність дорівнює 0%. Багато бактерій житимуть {{em|приблизно}} 5 годин, але немає ймовірності, що будь-яка окрема бактерія проживе {{em|точно}} 5.0000000000... годин.
Замість того можна поставити питання: Яка імовірність того, що бактерія проживе часу від 5 годин до 5.01 годин? Допустимо ця імовірність становить 0.02 (тобто, 2%). Далі, а яка імовірність що бактерія проживе від 5 годин до 5.001 годин? Оскільки інтервал в десять разів менший за попередній, ця імовірність дорівнюватиме 0.002. Ймовірність того, що бактерія житиме від 5 годин до 5.0001 годин повинна дорівнювати близько 0.0002, і так далі.
В цих трьох прикладах, відношення (імовірності прожити кількість часу у заданому інтервалі) до (величини цього інтервалу) приблизно є сталим, і дорівнює 2 на годину (або 2 hour<sup>−1</sup>). Наприклад, ймовірність, що якась бактерія загине у інтервалі довжиною 0.01-годин між 5 і 5.01 годинами життя дорівнює 0.02, а (ймовірність 0.02 / 0.01 годин) = 2 години<sup>−1</sup>. Ця величина 2 години<sup>−1</sup> називається ''густиною імовірності'' того, що бактерія проживе близько 5 годин.
Щодо відповіді на питання "Яка імовірність того, що бактерія загине проживши рівно 5 годин?", правильна, але мало зрозуміла відповідь - "0", але кращу відповідь можна записати як (2 години<sup>−1</sup>) ''dt''. Це імовірність того, що бактерія загине у нескінченно малому проміжку довкола 5 годин, де ''dt'' це величина цього проміжку.
Наприклад, ймовірність того, що вона проживе довше 5 годин, але менше ніж (5 годин + 1 наносекунда), дорівнює (2 години<sup>−1</sup>)×(1 наносекунда) ≃ 6×10<sup>−13</sup> (якщо застосувати приведення одиниць вимірювання 3.6×10<sup>12</sup> наносекунд = 1 годині).
Це є ''функцією густини імовірностей'' ''f'' де ''f''(5 годин) = 2 години<sup>−1</sup>. [[Інтеграл]] функції ''f'' по заданому діапазону часу (не лише для нескінченно малого діапазону, але і для великих діапазонів значень) є імовірністю, що бактерія проживе задану кількість часу в даному інтервалі.
== Означення ==
| |||