Відмінності між версіями «Розподіл Рейлі»

вікіфікація
(вікіфікація)
char =<math>1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)</math>|
}}
'''Розподіл Рейлі''' або '''розподіл Релея''' &nbsp;— це розподіл імовірностей випадкової величини <math>\displaystyle X</math> із щільністю
: <math>f(x;\sigma) = \frac{x}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0,\sigma>0,</math>
де <math>\displaystyle\sigma</math> -&nbsp;— параметр масштабу. Відповідна функція розподілу має вигляд
: <math>\mathsf P(X\leqslant x)=\int\limits_0^xf(\xi)\,d\xi=1-\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0.</math>
Введено вперше в 1880 &nbsp;р. [[Джон Вільям Стретт (лорд Релей)|Джоном Вільямом Стреттом (лордом Релеєм)]] у зв'язку з задачею додавання гармонійних коливань з випадковими фазами.
 
== Властивості ==
Моменти випадкової величини з розподілом Релея обчислюються за формулою:
 
: <math>\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,</math>
 
де <math>\Gamma(z)</math> &nbsp;— [[Гамма-функція]].
 
[[Математичне сподівання]] та [[дисперсія]] випадкової величини з розподілом Релея виражається як:
 
: <math>\mu(X) = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}\ \approx 1.253 \sigma,</math>
 
і
 
: <math>\textrm{var}(X) = \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2\ \approx 0.429 \sigma^2.</math>
 
Мода дорівнює <math>\sigma </math>, а максимум щільності
 
: <math> f_\text{max} = f(\sigma;\sigma) = \frac{1}{\sigma} \exp{-\frac{1}{2}} \approx \frac{0.606}{\sigma} </math>
 
[[Коефіцієнт асиметрії]] задається як:
 
: <math>\gamma_1=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}} \approx 0.631.</math>
 
Формула для обчислення [[Коефіцієнт ексцесу|коефіцієнта ексцесу]]:
 
: <math>\gamma_2=-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2} \approx 0.245.</math>
 
[[Характеристична функція випадкової величини|Характеристична функція]] задається формулою:
 
: <math>\varphi(t)=1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)</math>
 
де <math>\operatorname{erfi}(z)</math> &nbsp;— коомплексна [[функція помилок]]. Формула для [[Твірна функція моментів|твірної функції моментів]]
 
: <math>M(t)=\,</math>
: <math>1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right),</math>
 
де <math>\operatorname{erf}(z)</math> &nbsp; [[функція помилок]].
 
=== Ентропія інформації ===
[[Інформаційна ентропія|Ентропія інформації]] задається як
 
: <math>H=1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}</math>
 
де <math>\gamma</math> &nbsp;— [[стала Ейлера — Маскероні]].
 
== Застосування ==
* У задачах про пристрілювання гармат. Якщо відхилення від цілі для двох взаємно перпендикулярних напрямків [[Неперервний рівномірний розподіл|нормально розподілені]] і некорельовані, координати цілі збігаються з початком координат, то позначивши розкид по осях за <math>X</math> і <math>Y</math>, отримаємо вираз величини промаху у формі <math>R=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}</math>. У цьому випадку величина <math>R</math> має розподіл Релея.
* У радіотехніці для опису амплітудних флуктуацій радіосигналу.
* Щільність розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла по частотах.
 
== Зв'язок з іншими розподілами ==
* Якщо <math>{X}</math> і <math>{Y}</math> -&nbsp;— незалежні випадкові величини з розподілом Гауса, що мають нульові математичні сподівання і однакові дисперсії <math>{{\sigma }^{2}}</math>, то випадкова величина <math>Z=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}</math> має розподіл Релея.
* Якщо незалежні Гаусівскі випадкові величини <math>{X}</math> і <math>{Y}</math> мають ненульові математичні сподівання, у загальному випадку нерівні, то розподіл Релея переходить у розподіл Райса.
* Щільність розподілу квадрата рейлівскої величини з <math>{\sigma=1}</math> має [[розподіл хі-квадрат]] із двома ступенями свободи.
 
== Див. також ==
* [[Розподіл хі-квадрат]]
* [[Розподіл Райса]]
{{Список розподілів ймовірності}}