Відкрити головне меню

Зміни

Замінено вміст на «.»
.
[[Файл:Rtriangle.svg|thumb]]
'''Прямокутний трикутник''' — [[трикутник]], один із кутів якого прямий. Прямокутний трикутник займає особливе місце в планіметрії, оскільки для нього існують прості співвідношення між сторонами і кутами.
 
Сторони прямокутного трикутника мають власні назви. Дві сторони, що утворюють прямий кут називаються [[катет]]ами, а третя сторона — [[Гіпотенуза|гіпотенузою]]. Традиційно катети позначаються літерами ''a'' та ''b'', а гіпотенуза — літерою ''c''.
За [[Теорема Піфагора|теоремою Піфагора]] можна знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника, якщо відомі дві інші сторони. За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
: <math> AB^2=AC^2+BC^2 </math>
Звідси можна знайти інші сторони прямокутного трикутника.
: <math> AC^2=AB^2-BC^2 </math>
: <math> BC^2=AB^2-AC^2 </math>
 
Катети є водночас висотами прямокутного трикутника. Тому площа прямокутного трикутника дорівнює:
: <math> S = \frac{1}{2} ab </math>.
 
== Властивості прямокутних трикутників ==
# Сума гострих [[кут]]ів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
# Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то протилежний цьому куту катет буде дорівнювати половині гіпотенузи.
# Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.
# [[Медіана трикутника|Медіана]], проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутника, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи.
# Якщо описати [[коло]] навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром кола.
 
== Ознаки рівності прямокутних трикутників ==
У прямокутного трикутника є такі ознаки рівності:
* '''За двома катетами.'''
Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого, то такі трикутники рівні.
* '''За катетом і прилеглим гострим кутом.'''
Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й прилеглому до нього гострому куту другого, то такі трикутники рівні.
* '''За катетом і протилежним гострим кутом.'''
Якщо катет і протилежний йому гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й протилежно йому гострому куту другого, то такі трикутники рівні.
* '''За гіпотенузою і катетом.'''
Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету другого, то такі трикутники рівні.
* '''За гіпотенузою і гострим кутом.'''
Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й гострому куту другого, то такі трикутники рівні.
 
== Тригонометрія у прямому трикутнику ==
[[Тригонометричні функції]] для гострих кутів можна визначити як відношення сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, що містить такий кут, і зі сторонами: протилежним катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певним співвідношенням. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, так як всі трикутники, побудовані таким чином, є [[Подібність (геометрія)|подібними]].
 
* '''[[Тригонометричні функції|Синусом]] гострого кута''' прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.
 
* '''[[Тригонометричні функції|Косинусом]] гострого кута''' прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
 
* '''[[Тригонометричні функції|Тангенсом]] гострого кута''' прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.
 
* '''[[Тригонометричні функції|Котангенсом]] гострого кута''' прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного катета.
 
Розглянемо у формальних позначених через малюнок вище.
 
: <math>\sin A = \frac {a} {c}\,,</math> звідси <math>a = c \sin A,</math> <math>c = \frac {a} {\sin A}\,.</math>
 
: <math>\cos A = \frac {b} {c}\,,</math> звідси <math>b = c \cos A,</math> <math>c = \frac {b} {\cos A}\,.</math>
 
: <math>\operatorname{tg} A = \frac {a} {b}\,,</math> звідси <math>a = b \operatorname{tg} A,</math> <math>b = \frac {a} {\operatorname{tg} A}\,.</math>
 
: <math>\operatorname{ctg} A = \frac {b} {a}\,,</math> звідси <math>b = a \operatorname{ctg} A,</math> <math>a = \frac {b} {\operatorname{ctg} A}\,.</math>
 
Звідси можна зробити висновок, що:
 
* Щоб знайти катет, протилежний до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на синус цього кута, або прилеглий катет помножити на тангенс цього кута.
 
* Щоб знайти катет, прилеглий до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на косинус цього кута, або протилежний катет помножити на котангенс цього кута.
 
* Щоб знайти гіпотенузу, потрібно катет, прилеглий до гострого кута, поділити на косинус цього кута, або катет, протилежний до гострого кута, поділити на синус цього кута.
 
== [[Вписане коло|Вписане]] й [[описане коло]] прямокутного трикутнику ==
[[Файл:Thales' Theorem Simple.svg|міні|праворуч|160px|[[Описане коло]]]]
 
=== Описане коло ===
Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи.
Нехай <math>O</math>&nbsp;— центр описаного кола навколо прямокутного {{trianglenotation|ABC}}:
: <math>AO=OC= \frac {1} {2}AC=R</math>
 
=== Вписане коло ===
[[Файл:Vpysanekolo.gif|міні|праворуч|160px|[[Вписане коло]]]]
 
У прямокутний трикутник {{trianglenotation|ABC}} з прямим кутом <math>\angle \text{C}</math> вписане коло, яке дотикається до катетів у точках <math>K</math> і <math>N</math>. Відрізки <math>KC</math> і <math>NC</math> дорівнюють радіусу кола.
 
Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник з катетами <math>a</math> і <math>b</math> і гіпотенузою <math>c</math> знаходиться за формулою:
: <math>r= \frac {a+b-c} {2}</math>
 
== Теорема про висоту прямокутного трикутника ==
[[Файл:Висота в прямокутному трикутнику.png|праворуч|350x350пкс]]
Нехай <math>h</math> — висота прямокутного трикутника <math>ABC</math>, опущена на гіпотенузу прямого кута, і нехай вона ділить гіпотенузу на відрізки <math>m</math> та <math>n</math>, які є проекціями катетів <math>a</math> та <math>b</math> на гіпотенузу <math>c</math> відповідно.
Тоді справедливі такі рівності:
# <math>h ^ 2 = n {\cdot} m</math>
# <math>a ^ 2 = c {\cdot} m</math>
# <math>b ^ 2 = c {\cdot} n</math>
# <math>h {\cdot} c = a {\cdot} b </math>
'''''Доведення'''''. Трикутники <math>ACH</math>, <math>BCH</math> та <math>ABC</math> подібні між собою (за гострим кутом як прямокутні трикутники).
 
З подібності трикутників <math>ACH</math> та <math>ABC</math> маємо, що <math>\frac{h}{a}=\frac{b}{c}=\frac{n}{b}</math>. Звідси випливає, що <math>b ^ 2 = c {\cdot} n</math> та <math>h {\cdot} c = a {\cdot} b </math>. Також звідси випливає рівність <math>h=\frac{a {\cdot} n}{b}</math>.
 
З подібності трикутників <math>BCH</math> та <math>ABC</math> маємо, що <math>\frac{h}{b}=\frac{a}{c}=\frac{m}{a}</math>. Звідси випливає, що <math>a ^ 2 = c {\cdot} m</math>. Також звідси випливає рівність <math>h=\frac{b {\cdot} m}{a}</math>.
 
Оскільки <math>h=\frac{a {\cdot} n}{b}</math> та <math>h=\frac{b {\cdot} m}{a}</math>, то, перемноживши між собою праві та ліві частини рівностей, одержимо <math>h^2=\frac{a {\cdot} n}{b} {\cdot} \frac{b {\cdot} m}{a}=m{\cdot}n</math>.
 
Таким чином доведено всі чотири рівності.
 
== Джерела ==
* Г.&nbsp;П.&nbsp;Бевз. Геометрія трикутника.&nbsp;— Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1
* О.&nbsp;М.&nbsp;Роганін, О.&nbsp;І.&nbsp;Каплун. Математика.&nbsp;— Харків: Весна, 2009, ISBN 978-966-8896-77-4
* М.&nbsp;І.&nbsp;Бурда, Н.&nbsp;А.&nbsp;Тарасенкова. Геометрія 7 клас.&nbsp;— Україна: Зодіак-ЕКО, 2007, ISBN 978-966-7090-45-6
 
== Див. також ==
* [[Теорема Фалеса про три точки на колі]]
 
{{Геометрія-доробити}}
 
[[Категорія:Планіметрія]]
Анонімний користувач