Лінійний інтеграл: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Shkod (обговорення | внесок) вікіфікація |
||
Рядок 1:
== Визначення лінійного інтеграла ==
Нехай в просторової області <math>\mathbf{\textit{V}}</math> визначено безперервне векторне поле <math>\bar {a}(\mathbf{\textit{M}}), \mathbf{\textit{L}}</math>
Як і потік, цей інтеграл може представлятися по-різному. Так, якщо врахувати, що похідна <math>\bar {\tau }(M)</math> на <math>ds</math> дає зміна радіуса-вектора точки <math>\mathbf{\textit{M}}</math>, тобто <math>\bar {\tau }\cdot ds=d\bar {r}=dx\bar {i}+dy\bar {j}+dz\bar {k}</math>,то <math>W=\int\limits_L {\bar {a}(M)d\bar {r}}</math> і <math>W=\int\limits_L {Pdx+Qdy+Rdz}</math> Отже, лінійний інтеграл може бути виражений і через лінійний інтеграл по координатах.
== Фізичний сенс лінійного інтеграла ==
якщо <math>\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})</math>
== Основні властивості лінійного інтеграла ==
1)лінійність
<math>\int\limits_L {(C1\bar {a}_1 + C2\bar {a}_2)\bar{\tau }ds}=C1\int\limits_L {\bar{\tau }\bar {a}_1}ds +C2\int\limits_L {\bar{\tau }\bar {a}_2}ds</math>
2)адитивність
Рядок 24 ⟶ 22:
Це випливає з того, що вектор <math>\bar {\tau }(\mathbf{\textit{M}})</math> змінюється на <math>-\bar {\tau }(\mathbf{\textit{M}})</math>.
4). Якщо <math>\mathbf{\textit{L}}</math>
== Обчислення лінійного інтеграла ==
Як і будь-який криволінійний інтеграл, лінійний інтеграл обчислюється зведенням до певного інтеграла по параметру на кривій, зазвичай обчислюють криволінійний інтеграл <math>W=\int\limits_L {Pdx+Qdy+Rdz}</math>. Якщо крива при параметричному завданні має вигляд<br/>
<math>L:\left\{ {\begin{array}{l} x=x(t), \\ y=y(t), \\ z=z(t), \\ \end{array}} \right. t_0 \leqslant t\leqslant t_k</math> - безперервно диференціюються, то <br>
<math>W=\int\limits_L {P(x,y,z)\cdot dx+Q(x,y,z)\cdot dt+R(x,y,z)\cdot dz}</math> <math>=\int\limits_{t_0 }^{t_k } {\left[ {P(x(t),y(t),z(t))\cdot {x}'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\cdot {y}'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\cdot {z}'(t)} \right]dt}</math>
Рядок 33 ⟶ 31:
Напрямок інтегрування визначається напрямом руху по кривій.
== Циркуляція векторного поля ==
Циркуляцією називається лінійний інтеграл векторного поля по замкнутій кривій <math> \mathbf{\textit{C}} =\oint\limits_C {\bar {a}\cdot d\bar {r}}</math>.
| |||