|
<tt>Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду</tt>.
Нехай деяка функція <math>\!f(x, y, z)</math> визначена і обмежена на гладкій поверхні <math>\!S</math>. Хай <math>\!Z</math> позначає деяке розбиття <math>\!S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> (i = 1, 2 …. і) з площами <math>\!\Delta S_i</math>, <math>\!\Delta(Z)</math> є найбільшим діаметром елементарних поверхонь <math>\!S_i</math> і <math>\!M_i=(x_i, y_i, z_i) </math> — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число
: <math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N {f(x_i, y_i, z_i) \Delta S_i}</math>
називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>.
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке<math>\! \deltaDelta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\deltaDelta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math> <math>\!|S(Z) - I|<\deltaDelta</math>, то <math>\!I</math> називається <tt>поверхневим інтегралом 1-го роду</tt> від <math>\!f(x, y, z)</math> по поверхні <math>\!S</math> і записується
: <math>\!I=\iint_iint\limits_{S} f(x, y, z)\ ds\mathrm{d}s</math>.
Для окремого випадку підінтегрального виразу <math>\!f(x, y, z) \equiv 1</math>
число <math>\!I</math> дає площу <math>\!S</math> поверхні <math>\!S</math>.
<tt>Обчислення</tt> (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:
: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>,
причому <math>\!u</math> та <math>\!v</math> пробігають область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>
: <math>\!I=\iint_iint\limits_{S} f(x, y, z)\ ds\mathrm{d}s=\iint_iint\limits_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG-F^2}\, du\mathrm{d}u dv\mathrm{d}v </math>.
Якщо поверхня задана явно [[рівняння]]м <math>\!z=\phi(x, y)</math> причому <math>\!(x, y)</math> пробігають область <math>\!S'</math>, то
: <math>\!I=\iint_iint\limits_{S} f(x, y, z)\ ds\mathrm{d}s=\iint_iint\limits_{S'} f(x, y, \phi(x, y))\sqrt{1+p^2+q^2} \ dx\mathrm{d}x dy\mathrm{d}y </math>.
Аналогічні формули вірні, якщо <math>\!S</math> представлена рівняннями виду <math>\!x=\psi(y, z)</math> чи <math>\!y=\chi(x, z)</math>.
=== Поверхневі інтеграли 2-го роду ===
[[Файл:Surface integral1.png|right|300px|thumb|Рис. 2]]
Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні <math>\!S</math>; на кожній замкнутій кривій на <math>\!S</math> визначається додатний напрям обходу так, що він разом з [[нормаль|нормаллю]] вибраної сторони утворював праву трійку векторів.
Нехай в точках поверхні <math>\!S</math>, розташованої однозначно над площиною
<math>\!x, y</math> і заданою явно рівнянням <math>\!z=\phi(x, y)</math>, визначена обмежена функцією <math>\!f(x, y, z)</math>. Нехай <math>\!Z</math> є розбиття поверхні <math>\!S</math> на скінченну кількість елементарних поверхонь <math>\!S_i</math>, <math>\!(i=1, 2, .... n)</math>, <math>\!\Delta{Z}</math> — найбільший діаметр елементарних поверхонь, <math>\!M_i=(x_i, y_i, z_i)</math> — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні <math>\!S_i</math>. Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні <math>\!S_i</math> визначає напрям обходу в площині <math>\!x, y</math>, біля кордону проекції <math>\!S'_i</math>. Площа <math>\!\Delta S'_i</math> цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції <math>\!S'_i</math> проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).
Число
: <math>\!S(Z)=\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta S'_i</math> ▼
▲: <math> \!S(Z)=\sum_{i=1}^N f(x_i, y_i, z_i) \Delta S'_i</math>
називається <tt>інтегральною сумою</tt>, що відповідає розбиттю <math>\!Z</math>. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут <math>\!f(M_i)</math> множиться не на площу <math>\!\Delta S'_i</math> (елементарній поверхні <math>\! S_i</math> а на взяту із знаком площа <math>\!\Delta S'_i</math> проекції <math>\!S'_i</math> поверхні <math>\! S_i</math> на площину <math>\!x, y</math>. ▼
▲називається <tt>інтегральною сумою</tt>, що відповідає розбиттю <math> \!Z</math>. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут <math> \!f(M_i)</math> множиться не на площу <math> \!\Delta S'_i</math> (елементарній поверхні <math> \! S_i</math> а на взяту із знаком площа <math> \!\Delta S'_i</math> проекції <math> \!S'_i</math> поверхні <math> \! S_i</math> на площину <math> \!x, y</math>.
Якщо існує число <math>\!I</math> з такою властивістю: для кожного <math>\!\epsilon>0</math> знайдеться таке <math>\!\delta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math>\!Z</math> з <math>\!\Delta(Z)<\delta</math>, незалежно від вибору точок <math>\!M_i</math>, завжди |<math>\!|S(Z)-I|<\epsilon</math>, то <math>\!I</math> називають <tt>поверхневим інтегралом 2-го роду</tt> від ▼
▲Якщо існує число <math> \!I</math> з такою властивістю: для кожного <math> \!\epsilon>0</math> знайдеться таке <math>\ !\deltaDelta(\epsilon)>0</math>, що для кожного розбиття <math> \!Z</math> з <math> \!\Delta(Z)<\ deltaDelta</math>, незалежно від вибору точок <math> \!M_i</math>, завжди |<math> \!|S(Z)-I|<\epsilon</math>, то <math> \!I</math> називають <tt>поверхневим інтегралом 2-го роду</tt> від
: <math>\!f(x, y, z)</math> за вибраною стороною <math>\!S</math> і пишуть
: <math>\!\iint_{S} f(x, y, z)</math> \за dx\;вибраною dyстороною <math>S</math> і пишуть
: <math>\ !iint\ iint_limits_{S} f(x, y, z) \ dy\mathrm{d}x\; dz\mathrm{d}y</math> .▼Якщо <math>\!S</math> не має взаємно однозначної проекції на площину <math>\!x, y</math>, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така [[проекція]], то поверхневий інтеграл по <math>\!S</math> визначається як сума [[інтеграл]]ів по окремих поверхнях. ▼
▲Якщо <math> \!S</math> не має взаємно однозначної проекції на площину <math> \!x, y</math>, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така [[проекція]], то поверхневий інтеграл по <math> \!S</math> визначається як сума [[інтеграл]]ів по окремих поверхнях.
Якщо <math>\!S</math> має однозначну проекцію на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду ▼
▲Якщо <math> \!S</math> має однозначну проекцію на площину <math> \!y, z</math> або <math> \!x, z</math>, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду :
▲: <math>\!\iint_{S} f(x, y, z)\ dy dz</math>
: <math>\!iint\iint_limits_{S} f(x, y, z)\ dz\mathrm{d}y dx\mathrm{d}z</math> та
: <math>\iint\limits_{S} f(x, y, z)\ \mathrm{d}z \mathrm{d}x</math>,
де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій <math>\!S_i</math> на площину <math>\!y, z</math> або <math>\!x, z</math>. ▼
▲де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій <math> \!S_i</math> на площину <math> \!y, z</math> або <math> \!x, z</math>.
Нарешті, для трьох функцій <math>\!P(x, y, z)</math>, <math>\!Q(x, y, z)</math>, <math>\!R(x, y, z)</math>, визначених на <math>\!S</math>, ці інтеграли можна додати і визначити загальніший <tt>поверхневий інтеграл другого роду</tt>: ▼
▲Нарешті, для трьох функцій <math> \!P(x, y, z)</math>, <math> \!Q(x, y, z)</math>, <math> \!R(x, y, z)</math>, визначених на <math> \!S</math>, ці інтеграли можна додати і визначити загальніший <tt>поверхневий інтеграл другого роду</tt>:
: <math>\!
\iint_{S} P\;dy\; dz+ Q\;dz\; dx + R\;dx\; dy =\iint_{S} P\;dy\; dz + \iint_{S} Q\;dz\; dx +\iint_{S} R\;dx\; dy
\iint\limits_{S} P\;\mathrm{d}y\; \mathrm{d}z+ Q\;\mathrm{d}z\; \mathrm{d}x + R\;\mathrm{d}x\; \mathrm{d}y =\iint\limits_{S} P\;\mathrm{d}y\; \mathrm{d}z + \iint\limits_{S} Q\;\mathrm{d}z\; \mathrm{d}x +\iint\limits_{S} R\;\mathrm{d}x\; \mathrm{d}y
</math>.
==== Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла) ====
'''1'''. Нехай поверхня <math>\!S</math> має явне представлення <math>\!z= \phi (x, y)</math>, причому <math>\!(x, y)</math> змінюються в області <math>\!S'</math>. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні <math>\!S</math>, для якої кут між нормаллю і віссю <math>\!z</math> є гострим, обчислюється так:
: <math>\!
\iint_iint\limits_{S} f(x, y, z) dx\mathrm{d}x dy\mathrm{d}y= - \iint_iint\limits_{S'} f(x, y, \phi(x, y)).
</math>
Якщо вибрана інша сторона поверхні, то
: <math>\!
\iint_iint\limits_{S} f(x, y, z) dx\mathrm{d}x dy\mathrm{d}y= \iint_iint\limits_{S} f(x, y, \phi(x, y)).
</math>
Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:
: <math>\!
\iint_iint\limits_{S} f(x, y, z) dy\mathrm{d}y dz\mathrm{d}z= - \iint_iint\limits_{S'} f(\psi(y, z), y, z),
</math>
де <math>\!S</math> задана рівнянням <math>\!x=\psi(y, z)</math>, <math>\!S'</math> — проекція <math>\!S</math> на площину <math>\!y, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю <math>\!x</math> гострий кут. Так само
: <math>\!
\iint_iint\limits_{S} f(x, y, z) dz\mathrm{d}z dx\mathrm{d}x= - \iint_iint\limits_{S'} f(x, \chi(z, x), y) dz\mathrm{d}z dx\mathrm{d}x,
</math>
де <math>\!S</math> задана рівнянням <math>\!y=\chi(z, x)</math>, <math>\!S'</math> проекція <math>\!S</math> на площину <math>\!x, z</math>, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.
'''2'''. Якщо поверхня <math>\!S</math> задана в параметричній формі: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, то
: <math>\!
\iint_iint\limits_{S} f(x, y, z) dx\mathrm{d}x dy\mathrm{d}y= \pm \iint_iint\limits_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) C\;du\mathrm{d}u\; dv\mathrm{d}v
</math>
: <math>\!
\iint_iint\limits_{S} f(x, y, z) dy\mathrm{d}y dz\mathrm{d}z= \pm \iint_iint\limits_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A\;du\mathrm{d}u\; dv\mathrm{d}v
</math>
: <math>\!
\iint_iint\limits_{S} f(x, y, z) dz\mathrm{d}z dx\mathrm{d}x= \pm \iint_iint\limits_{\Gamma} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) B\;du\mathrm{d}u\; dv\mathrm{d}v
</math>
де
: <math>\!A={\partial (y, z) \over \partial (u, v)}</math>
: <math>\!B={\partial (z, x) \over \partial (u, v)}</math>
: <math>\!C={\partial (x, y) \over \partial (u, v)}</math>
дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли <tt>орієнтація</tt> області <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u, v</math> відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо
: <math>\!
\iint_iint\limits_{S} P\;dy\mathrm{d}y\; dz\mathrm{d}z+ Q\;dz\mathrm{d}z\; dx\mathrm{d}x + R\;dx\mathrm{d}x\; dy\mathrm{d}y =\pm \iint_iint\limits_{\Gamma} (PA+QB+RC)\; du\mathrm{d}u\; dv\mathrm{d}v
</math>
=== Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду ===
Якщо <math>\!\alpha</math>, <math>\!\beta</math>, <math>\!\gamma</math> — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями <math>\!x, y</math> і <math>\!z</math>, то
<math>\!
\iint_iint\limits_{S} {P\;dy\mathrm{d}y\; dz\mathrm{d}z+ Q\;dz\mathrm{d}z\; dx\mathrm{d}x + R}\; dz\mathrm{d}z\; dy\mathrm{d}y = \pm {\iint_iint\limits_{S} {(P\; \cos \alpha + Q\; \cos \beta\; + R \cos \gamma )}\; dS\mathrm{d}S }
</math>
Поверхневий інтеграл
: <math>\!
\iint_iint\limits_{S} P\;dy\mathrm{d}y\; dz\mathrm{d}z+ Q\;dz\mathrm{d}z\; dx\mathrm{d}x + R\;dx\mathrm{d}x\; dy\mathrm{d}y
</math>
має для різних незамкнутих поверхонь <math>\!S_1</math> і <math>\!S_2</math> з однією і тією ж границею <math>\!C</math> у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в [[нуль]] на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції
: <math>\!
P, Q, R, {\partial P \over \partial x}, {\partial Q \over \partial y}, {\partial R \over \partial z}
</math>
неперервні в однозв'язній просторовій області <math>\!V</math> (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні <math>\!S</math> в <math>\!V</math> обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли
: <math>\!
{\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z}=0
</math>
| 