|
== Площа гладкої поверхні ==
{{Головна|Площа поверхні}}
Хай поверхня <math>\!S</math> задана параметрично: <math>\!x=x(u, v)</math>, <math>\!y=y(u, v)</math>, <math>\!z=z(u, v)</math>, причому <math>\!u</math> і <math>\!v</math> пробігають деяку область <math>\!\Gamma</math> площини <math>\!u</math>, <math>\!v</math>. Тоді площа <math>\!S</math> поверхні визначається поверхневим інтегралом
: <math>\iint_iint\limits_{\Gamma} \sqrt{EG-F^2}\, du\mathrm{d}u\,dv\mathrm{d}v</math>, де
де
: <math>E= {\left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)}^2</math> ▼
: <math>FE= {\partial xleft( \over frac{\partial ux}{\partial xu} \overright)}^2 \partial+ v}+{\partial yleft( \over frac{\partial uy}{\partial yu} \overright)}^2 \partial+ v}+{\partial zleft( \over frac{\partial uz}{\partial zu} \over \partial vright)}^2</math>,
: <math>GF= {\left(partial x \frac{over \partial xu}{\partial v}x \right)}^2over +\partial v}+{\left(partial y \frac{over \partial yu}{\partial v}y \right)}^2over +\partial v}+{\left(partial z \frac{over \partial zu}{\partial v}z \right)over \partial v}^2</math>;,
▲: <math> EG= {\left( \frac{\partial x}{\partial uv} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial y}{\partial uv} \right)}^2 + {\left( \frac{\partial z}{\partial uv} \right)}^2</math> .
підінтегральний вираз
Підінтегральний вираз
: <math>dS=\sqrt{EG-F^2}\, du\,dv</math> ▼
▲: <math> dS\mathrm{d}S=\sqrt{EG-F^2}\, du\mathrm{d}u\, dv\mathrm{d}v</math>
називається ''елементом поверхні''.
Якщо <math>S</math> задана явно рівнянням <math>z=\phi(x, y)</math>, причому <math>(x, y)</math> пробігають область <math>S'</math> (проекцію області <math>S</math> на площину <math>x0y</math>), то:
: <math>S=\iint_iint\limits_{S^\prime}\sqrt{1+p^2+q^2}\, dx\mathrm{d}x\,dy\mathrm{d}y</math>, де
де
: <math>p={\partial z \over \partial x}</math>, <math>q={\partial z \over \partial y}</math>.
| 