Евклідів простір: відмінності між версіями

'''Евклідів простір''' &nbsp;— скінченновимірний дійсний [[векторний простір]] ''E'' із [[скалярний добуток|скалярним добутком]]<ref name="kostr">{{cite book

Нехай [[декартові координати]] в тривимірному просторі такі, що якщо точці P відповідають три її координати (x₁, x₂, x₃), а точці Q --&nbsp;— координати (y₁, y₂, y₃). Тоді, якщо квадрат довжини прямолінійного [[відрізок|відрізку]], що з'єднує P та Q дорівнює: <math>l^2=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2</math>, то такий простір називають ''евклідовим простором'', а декартові координати з такими властивостями називають ''евклідовими координатами''.

Узагальнюючи на випадок n вимірів, отримаємо <math>l^2=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots (x_n-y_n)^2 = \sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2</math>.

З точками евклідового простору зручно зіставити [[вектор|вектори]]и. Назвемо вектор, направлений від [[початок координат|початку координат]] у точку P [[радіус-вектор|радіус-вектором]]ом цієї точки. Декартові координати (x₁, x₂, x₃) точки Р будемо називати координатами радіус-вектора.

Два вектори, які направлені з початку координат до точок P та Q з координатами '''p'''= (x₁, x₂, x₃) та '''q'''= (y₁, y₂, y₃) можна складати покоординатно. Тобто отримати вектор '''p'''+'''q''' з координатами (x₁ + y₁, x₂ + y₂, x₃ +

y₃).

Можна також помножити вектор на число (скаляр). Одиничні вектори '''e'''₁ = (1, 0, 0), '''e'''₂ = (0, 1, 0), '''e'''₃ = (0, 0, 1) мають довжину, яка дорівнює 1, а самі вектори взаємоперпендикулярнівзаємно перпендикулярні.