Ланцюгова лінія: відмінності між версіями

 

або ланцюг (звідси назва) із закріпленими кінцями в однорідному гравітаційному полі. Вона є плоскою трансцендентною кривою.[[Файл:catenary-pm.png|thumb|300px|right|Ланцюгова лінія при різних значеннях параметра]]

Рівняння в [[Декартова система координат|прямокутних координатах]]:<math display="block">y = a ~ \operatorname{ch} {x \over a} = {a \over 2}\bigg( e^{x \over a}+e^{-x \over a} \bigg), </math>де <math>\operatorname{ch}</math>&nbsp;— [[гіперболічний косинус]].

== Властивості ==

* Довжина дуги <math>AM</math>, де <math>A(0, a), M(x,y)</math>, дорівнює<math display="block">L = a ~ \operatorname{sh} {x \over a} = {a \over 2}( e^{x/a}-e^{-x/a} ), </math>де <math>\operatorname{sh}</math>&nbsp;— [[гіперболічний синус]].

 

* Радіус [[Кривина (математика)|кривини]] ланцюгової лінії в будь-якій її точці можна обчислити за формулою: <math display="inline">R = {y^2 \over a} = a ~ \operatorname{ch}^2 {x \over a} </math>.

* Площа фігури, обмеженої ланцюговою лінією, заданою на проміжку <math>(x_{1}; x_{2})</math> і віссю абсцис, дорівнює <math display="inline">S=a^{2}\bigg({sh x_{2} \over a} -{sh x_{1} \over a} \bigg) = a \bigg(\sqrt{y_{2}^{2}-a^{2}}-\sqrt{y_{1}^{2}-a^{2}} \bigg)</math>.