Ланцюгова лінія: відмінності між версіями

 

або ланцюг (звідси назва) із закріпленими кінцями в однорідному гравітаційному полі. Вона є плоскою трансцендентною кривою.[[Файл:catenary-pm.png|thumb|300px|right|Ланцюгова лінія при різних значеннях параметра]]

Рівняння в [[Декартова система координат|прямокутних координатах]]:<math display="block">y = a ~ \operatorname{ch} {x \over a} = {a \over 2}\bigg( e^{x \over a}+e^{-x \over a} \bigg), </math>де <math>\operatorname{ch}</math>&nbsp;— [[гіперболічний косинус]].

== Властивості ==

 

* Проекція ординати довільної точки ланцюгової лінії на нормаль у цій точці є сталою величиною і дорівнює <math>a</math>.

* Радіус [[Кривина (математика)|кривини]] ланцюгової лінії в будь-якій її точці можна обчислити за формулою: <math display="inline">R = {y^2 \over a} = a ~ \operatorname{ch}^2 {x \over a} </math>.

* Площа фігури, обмеженої ланцюговою лінією, заданою на проміжку <math>(x_{1}; x_{2})</math> і віссю абсцис, дорівнює <math display="inline">S=a^{2}\bigg({sh x_{2} \over a} -{sh x_{1} \over a} \bigg) = a \bigg(\sqrt{y_{2}^{2}-a^{2}}-\sqrt{y_{1}^{2}-a^{2}} \bigg)</math>.

 

== Застосування ланцюгової лінії ==

=== Застосування в техніці ===

В області техніки ланцюгова лінія використовується в розрахунках, пов'язаних з провисанням ниток - проводів, тросів і т. д.

 

При виведенні рівняння ланцюгової лінії зазначається, що <math>a = {T \over \gamma}</math> , де <math>T</math> - натяг нитки в вершині, а <math>\gamma</math> - питома щільність матеріалу, з якого зроблена нитка. Далі, горизонтальна складова сили натягу <math>t</math> в довільній точці ланцюгової лінії  визначалася виразом <math>tcos{a}</math>, і в силу рівноваги нитки отримувалася рівність <math>tcos{a} = T</math>. Виключаючи ''<math>T</math>'' з цієї рівності та попередньої, отримуємо<math display="block">t = {{a\gamma} \over {cosa}}=a\gamma{\sqrt{1 + tg^{2}a}}=a\gamma{\sqrt{{1+y'}^{2}}}=a\gamma{ch {x \over a}} = \gamma y, </math>

тобто, ''сила натягу'' <math>t</math> ''в довільній точці ланцюгової лінії дорівнює вазі частини нитки, довжина якої дорівнює ординаті цієї точки.''

 

 

=== Проектування арок та будівництво мостів ===

Ланцюгова лінія  використовується в будівництві арок (оскільки форма арки  у вигляді перевернутої ланцюгової лінії найбільш вдало розподіляє навантаження), при будуванні мостів, при розрахунках, пов’язаних із провисанням проводів, канатів  (однорідний канат або ланцюг вільно підвішений за свої кінці, набуває форми графіка гіперболічного косинуса, який ще називають ланцюговою лінією).

 

Форма ланцюгової лінії постійно  змінюється під впливом різних випадкових і невипадкових факторів, тому теоретично складно виявити закономірність цієї зміни. Для відносно коротких робочих ланцюгів та невеликих провисань ланцюгову лінію можна замінити параболою .

 

На арці Саарінена в Сент-Луїсі  написана її формула в футах :      <math display="block">y = - 127,7' ch \bigg({x \over 127,7'}\bigg)+ 757,7',</math>

У метрах це<math display="block">y = - 44,44 ch \bigg({x \over 44,44}\bigg)+ 263.</math>Ця арка була спроектована одним з найвідоміших архітекторів США Еро Сааріненом  у співпраці з математиком і інженером Ганнскарлом Бандель. За підказкою Бандель та Саарінен вибрали для своєї арки форму ланцюгової лінії, висота якої дорівнювала ширині біля основи.

 

Ланцюгові арки часто використовуються в будівництві печей. Щоб створити бажану криву, форма висить ланцюг з бажаних розмірів переносять у форму, яка потім використовується в якості керівництва для розміщення цеглини або інших будівельних матеріалів.     

 

*https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary

*Гильберт Д., Кон-Фостен С. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981.

* Люстерник Л. ''А.'' Кратчайшие линии. Вариационные задачи. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 19, § 19. М.-Л.: Гостехиздат, 1955.