Ланцюгова лінія: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування Мітки: перше редагування Візуальний редактор |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''''Ланцюгова лінія, катенарія''' (анг. - Catenary)'' - лінія, форму якої приймає гнучка однорідна нерозтяжна важка нитка
або ланцюг (звідси назва) із закріпленими кінцями в однорідному гравітаційному полі. Вона є плоскою трансцендентною кривою.[[Файл:catenary-pm.png|thumb|300px|right|
Рівняння в [[Декартова система координат|прямокутних координатах]]:
: <math>y = a ~ \operatorname{ch} {x \over a} = {a \over 2}( e^{x/a}+e^{-x/a} ) </math>
Рядок 7:
=== Властивості ===
* Крива
* Довжина дуги <math>AM</math>, де <math>A(0, a), M(x,y)</math>, дорівнює
: <math>L = a ~ \operatorname{sh} {x \over a} = {a \over 2}( e^{x/a}-e^{-x/a} ) </math>,
Рядок 14:
* Площа криволінійної трапеції <math>OAMP </math> дорівнює
<math>S = aL = a^2 ~ \operatorname{sh}^2 {x \over a} </math>.
* Радіус
* Площа фігури, обмеженої ланцюговою лінією, заданою на проміжку <math>(x_{1}; x_{2})</math> і віссю абсцис, дорівнює <math>S=a^{2}\bigg({sh x_{2} \over a} -{sh x_{1} \over a} \bigg) = a \bigg(\sqrt{y_{2}^{2}-a^{2}}-\sqrt{y_{1}^{2}-a^{2}} \bigg)</math>.
* Якщо дугу ланцюгової лінії обертати навколо осі <math>Ox</math>, то утвориться поверхня обертання, яка називається ''[[Катеноїд|катеноїдом]].''
=== Історичні відомості ===
У книзі Галілея "Бесіди і математичні докази ..." (1638 р.) було запропоновано наступний спосіб побудови параболи:
"Заб'ємо в стіну два цвяха на однаковій висоті над горизонтом і на такій відстані один від одного, щоб вона дорівнювала подвійній ширині прямокутника, на якому можна побудувати одну вітку параболи; між цвяхами підвісимо тонкий ланцюжок, який звішувався б вниз і був такої довжини, щоб найнижча його точка знаходилася від рівня цвяха на відстані, рівному висоті прямокутника. Цей ланцюжок, звисаючи, розташується у вигляді параболи, так що, відзначивши її слід на стіні пунктиром, ми отримаємо параболу, яку навпіл розсікає перпендикуляр, проведений через середину лінії, що з'єднує обидва цвяха ".
Спосіб цей простий і наочний, але не точний. Це розумів і сам Галілей. Насправді, якщо параболу побудувати за всіма правилами, то між нею і ланцюжком виявляться зазори. Це помітно на рис. , де відповідна парабола позначена суцільною лінією.
Тільки через півстоліття після виходу книги Галілея старший з двох братів-математиків Бернуллі - Якоб знайшов суто теоретичним шляхом точну формулу провисаючого ланцюжка. Не поспішаючи повідомляти своє рішення задачі, він кинув виклик іншим математикам. Правильне рішення опублікували вже в наступному 1691р. Християн Гюйгенс, Готфрід Вільгельм Лейбніц і молодший брат Якоба - Йоганн Бернуллі. Всі вони користувалися для вирішення завдання, по-перше, законами механіки, а по-друге, могутніми засобами нещодавно розробленого тоді математичного аналізу - похідної та інтегралом.
Гюйгенс назвав криву, по якій розташовується ланцюжок, підвішений за два кінці, ланцюгової лінією.
:
:
Ланцюгові лінії використовуються в розрахунках, пов'язаних з провисанням дротів і т. д. Форму кривої провисання вперше розглядав [[Галілей Галілео|Г. Галілей]] ([[1638]]), який вважав її параболою. Справжня форма кривої знайдена [[Лейбніц|Г. Лейбніцем]], [[Якоб Бернуллі|Я.]] і [[Йоганн Бернуллі|Й. Бернуллі]], [[Хрістіан Гюйгенс|Х. Гюйгенсом]] (він же запропонував термін ''Ланцюгова лінія'' ([[1690]]).
| |||