Границя числової послідовності: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 79:
Границі послідовностей є унікальними, якщо вони існують, оскільки окремі взяті точки лежать окремо і мають деяку додатну міру відстані між ними, тому для <math>\epsilon</math> що є меншим за половину цієї відстані, елементи послідовності не можуть бути в межах відстані <math>\epsilon</math> для двох точок одночасно.
==Топологічні простори==
===Визначення===
Точка ''x'' топологічного простору (''X'', τ) є '''границею''' [[Послідовність|послідовності]] (''x<sub>n</sub>'') якщо, для кожного [[Окіл|околу]] ''U'' довкола ''x'', існує таке ''N'' при якому, для кожного <math>n \geq N</math>, <math>x_n \in U</math>. Це співпадає із визначенням, що було дане для метричних просторів, якщо (''X'',''d'') є метричним простором а <math>\tau</math> є топологією утвореною за допомогою ''d''.
Границя послідовності точок <math>\left(x_n:n\in \mathbb{N}\right)\;</math> у топологічному просторі ''T'' є особливим випадком [[Границя функції в точці#Functions on topological spaces|границі функції]]: областю визначення якої є <math>\mathbb{N}</math> у просторі <math>\mathbb{N} \cup \lbrace +\infty \rbrace</math> із {{нп|Індукована топологія|індукованою топологією|en|induced topology}} системи дійсних чисел [[Невласне число|розширеною до нескінченностей]], ранг дорівнює ''T'', а аргумент функції ''n'' прямує до +∞, яка в даному просторі є [[Гранична точка|граничною точкою]] для <math>\mathbb{N}</math>.
===Властивості===
Якщо ''X'' це [[Гаусдорфів простір]] тоді границі послідовностей є унікальними, якщо вони існують. Варто відмітити, що це не обов'язково так в загальному випадку; зокрема, якщо дві точки ''x'' і ''y'' є {{нп|Топологічна нерозрізненість|топологічно нерозрізнені|en|topologically indistinguishable}}, будь-яка послідовність яка збігається до ''x'' має збігатися до ''y'' і навпаки.
==Послідовності Коші==
{{main|Фундаментальна послідовність}}
[[File:Cauchy sequence illustration.svg|350px|thumb|Графік фундаментальної послідовності Коші (''x<sub>n</sub>''), показана синім, як ''x<sub>n</sub>'' відносно ''n''. Наочно, ми бачимо що послідовність збігається до граничної точки з тим як елементи послідовності стають ближчими один до одного із збільшенням ''n''. В області [[Дійсні числа|дійсних чисел]] кожна послідовність Коші збігається до деякої границі.]]
Фундаментальна послідовність Коші, це така послідовність елементи якої врешті решт наближаються один до одного, після того як достатня кількість початкових елементів були відкинуті. Поняття послідовностей Коші є важливим при вивченні послідовностей в [[Метричний простір|метричних просторах]], і, зокрема, в [[Аналіз функцій дійсної змінної|аналізі функцій дійсної змінної]]. Одним із особливо важливим результатом в аналізі функцій дійсної змінної є ''критерій Коші щодо збіжності послідовностей'': Послідовність дійсних чисел збігається тоді і тільки тоді, коли вона є послідовністю Коші. Цей критерій залишається достовірним і у інших [[Повний метричний простір|повних метричних просторах]].
== Література ==
| |||