Границя числової послідовності: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 67:
Говорять, що послідовність <math>(x_n)</math> '''прямує до нескінченності''', і позначають як <math>x_n \to \infty</math> або <math>\lim_{n\to\infty}x_n = \infty</math> якщо, для кожного ''K'', існує таке ''N'', що для кожного <math>n \geq N</math>, <math>x_n > K</math>; тобто, елементи послідовності зрештою є більшими ніж будь-яке постійне значення''K''. Аналогічно, <math>x_n \to -\infty</math> якщо, для кожного ''K'', існує таке ''N'', що для кожного <math>n \geq N</math>, <math>x_n < K</math>. Якщо послідовність прямує до нескінченності, або до мінус нескінченності, то така послідовність є розбіжною (однак, розбіжна послідовність не обов'язково повинна прямувати до мінус чи плюс нескінченності: візьмемо наприклад <math>x_n=(-1)^n</math>).
==Метричні простори==
===Визначення===
Точка ''x'' [[Метричний простір|метричного простору]] (''X'', ''d'') є '''границею''' [[Послідовність|послідовності]] (''x<sub>n</sub>'') якщо, для всіх ε > 0, існує таке ''N'' при якому, для будь-якого <math>n \geq N</math>, <math>d(x_n, x) < \epsilon</math>. Це співпадає із визначенням, що було дане для дійсних чисел коли <math>X = \mathbb{R}</math> і <math>d(x, y) = |x-y|</math>.
===Властивості===
Для будь-якої [[Неперервна функція|неперервної функції]] ''f'', якщо <math>x_n \to x</math> тоді <math>f(x_n) \to f(x)</math>. Насправді, [[Функція (математика)|функція]] ''f'' є неперервною тоді і тільки тоді, коли вона представляє собою границі послідовностей.
Границі послідовностей є унікальними, якщо вони існують, оскільки окремі взяті точки лежать окремо і мають деяку додатну міру відстані між ними, тому для <math>\epsilon</math> що є меншим за половину цієї відстані, елементи послідовності не можуть бути в межах відстані <math>\epsilon</math> для двох точок одночасно.
== Література ==
| |||