Евклідова геометрія: відмінності між версіями

Евклідова геометрія базується на [[Конструктивне доведення|конструктивному доведенні]]. Аксіоми 1, 2, 3 та 5 стверджують про існування та унікальність певних геометричних фігур, і ці твердження носять конструктивний характер: тобто ми не лише сказали про існування певних речей, але й довели це. У цьому сенсі Евклі́дова геометрія більш конкретна, ніж багато сучасних аксіоматичних систем, таких як теорія множин, які часто стверджують про існування об'єктів, не кажучи, як їх побудувати, або навіть стверджують про існування об'єктів, які не можуть бути побудовані в рамках теорії. Іншими словами, лінії на папері є моделями об'єктів, визначених у формальній системі, а не прикладами цих об'єктів. Наприклад, Евклі́дова пряма не має ширини, але будь-яка реальна намальована лінія матиме. Хоча майже всі сучасні математики вважають неконструктивні методи настільки ж конструктивними, конструктивні докази Евкліда часто витісняють помилкові неконструктивні, наприклад, деякі з доказів Піфагорійців, що містять ірраціональні числа, які зазвичай вимагали такого твердження, як "Знайдіть найбільшу загальну міру ... ".

Евклід часто використовував у своїй праці [[Доведення від супротивного|доведення від супротивного]]. Евклідова геометрія використовує також [[Метод суперпозицій|метод суперпозиціїсуперпозицій]], в якому фігура переміщується на іншу точку простору. Наприклад, пропозиція I.4, конгруенція трикутників бічним кутом, доведена шляхом переміщення одного з двох трикутників так, що одна з його сторін співпадає з такою ж за розміром стороною іншої трикутник, а потім доводить, що інші сторони також збігаються . Деякі сучасні методи додають шостий постулат - жорсткість трикутника, яку можна використовувати як альтернативу суперпозиції. [[File:euclid-proof.svg|thumb|Одне з доведень із "Елементів" Евкліда: враховуючи лінійний сегмент, існує рівносторонній трикутник, який включає сегмент як одну з його сторін. Конструктивне доведення: рівносторонній трикутник ΑΒΓ зроблений шляхом нанесення кругів Δ і Ε, центрованих по точкам А і В, і взяття одного перетину кругів як третьої вершини трикутника.]]