Проєктивна площина: відмінності між версіями

Вилучено вміст Додано вміст

Лінійно

Версія за 22:57, 26 червня 2017

В математиці, проективна площина це геометрична структура, яка розширює поняття площини. На звичайній Евклідовий площині, дві прямі перетинаються в одній точці, але є деякі пари прямих (названі, паралельними прямими), які не перетинаються. Проективну площину можна розглядати як звичайну площину, яка має додаткові "точки на нескінченності" в яких паралельні прямі перетинаються. Таким чином будь-які дві різні прямі в проективній площині перетинаються в одній і лише одній точці.

Ці паралельні прямі візуально перетинаються у деякій зникомій точці "в безмежності". В проективній площині це фактично є правдивим.

Художники ренесансу, розвиваючи техніку малювання в перспективі, заклали основу цій математичної тематики. Архітипним прикладом є дійсна проективна площина●, також відома як розширена Евклідова площина.^[1] Цей приклад, в дещо іншому вигляді, є важливим поняттям в алгебраїчній геометрії, топології і проективній геометрії де вона може позначатися по різному PG(2, R), RP², або P₂(R) та ін.. Існує багато інших проективних площин, як приклад, нескінченна комплексна проективна площина, і скінченна, площина Фано.

Проективна площина є двовимірним проективним простором, але не всі проективні площини можуть вбудовуватися в тривимірний простір (див. Теорема Дезарга).

Визначення

Проективна площина складається з набору прямих, набору точок, і зв'язків між прямими і точками, які називаються спадання (інцидентом), які мають наступні властивості:

Для даних двох різних точок, є лише одна пряма яка проходить через обидві з них.
Для даних двох різних прямих, існує лише одна точка що належить їм обом.
Існує чотири таких точки, що не існує прямих які перетинаються із більше ніж двома з них.

Друга умова означає, що не існує паралельних прямих. Остання умова виключає випадки так званої вироджені випадки. Термін "інцидент" (спадання) використовується аби підкреслити симетричну природу зв'язків між точками і прямими. Таким чином вислів "точка P є інцидентною з прямою l " "точка P є спадною прямої l " використовується замість вислову "P знаходиться на l " або "l проходить крізь P ".

Примітки

↑ The phrases "projective plane", "extended affine plane" and "extended Euclidean plane" may be distinguished according to whether the line at infinity is regarded as special (in the so-called "projective" plane it isn't, in the "extended" planes it is) and to whether Euclidean metric is regarded as meaningful (in the projective and affine planes it isn't). Similarly for projective or extended spaces of other dimensions.

[1] The phrases "projective plane", "extended affine plane" and "extended Euclidean plane" may be distinguished according to whether the line at infinity is regarded as special (in the so-called "projective" plane it isn't, in the "extended" planes it is) and to whether Euclidean metric is regarded as meaningful (in the projective and affine planes it isn't). Similarly for projective or extended spaces of other dimensions.

[1]