Диференціал (математика): відмінності між версіями

Нескінченно малі величини грали значну '''роль в розвитку математичного аналізу. [[Архімед]] використовував їх, хоча він і не вірив, що твердження з нескінченно малими величинами можуть бути точні.<ref>{{Citation |first=Carl B. |last=Boyer |authorlink=Carl Benjamin Boyer |title=A History of Mathematics |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |year=1991 |isbn=0471543977|chapter=Archimedes of Syracuse}}</ref> [[Бхаскара II]] розробив концепцію диференціального відображення нескінченно малих змін.<ref name="Joseph">George G. Joseph (2000), ''The Crest of the Peacock'', pp. 298–300, [[Princeton University Press]], ISBN 0-691-00659-8</ref> [[Шараф аль-Дін аль-Тусі]] використовував їх для обчислення [[Похідна|похідної]] [[Кубічне рівняння|кубічного рівняння]].<ref>J. L. Berggren (1990), «Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat», ''Journal of the American Oriental Society'' '''110''' (2): 304-9</ref><ref name="MacTutor">{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> [[Ісаак Ньютон]] називав їх похідними. Проте [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніц]] був перший хто застосував термін диференціал до нескінченно малих величин, а також придумав позначення похідної, якеяк'''<!-- ло -->е використовується дотепер.

В позначенні Лейбніца, якщо ''x''&nbsp;— змінне число тоді d''x'' позначає нескінченно малий приріст змінної ''x''. Таким чином, якщо ''y'' функція від ''x'', тоді [[похідна]] ''y'' по змінній ''x'' часто позначаєтьсяпознача '''лол''' ється <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}</math>, що також може бути записано (позначення Ньютона чи Лагранжа) <math>{\dot y}(x)</math> чи <math>y'(x)</math>. Використання диференціалів в такій формі спровокувало багато критики, наприклад знаменитий памфлет The Analyst єпископа Берклі. В будь-якому разі таке позначення залишилось популярним, тому що воно наочно відображає принцип, що похідна функції ''y''(''x'') дорівнює [[нахил]]у функції в точці, що можна отримати, якщо обчислити [[границя|границю]] відношення <math>\frac{\Delta\,y}{\Delta\,x}</math> приросту ''y'' в залежності від приросту ''x'', якщо приріст ''x'' прямує до нуля. Диференціали також застосовують в аналізі розмірності, де диференціал наприклад d''x'' маю таку саму розмірність як і змінна ''x''.