Система лінійних алгебраїчних рівнянь: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м Бот: видалення з Статті, що повинні бути в усіх Вікіпедіях |
|||
Рядок 53:
</math>
Число векторів в базисі лінійної оболонки векторів є [[ранг матриці|рангом матриці]].
== Логіка ==
Нехай <math>\varphi : X \rightarrow Y </math> та <math>\psi: X \rightarrow Y</math> функції однієї змінної зі спільною областю визначення <math>X</math> і спільною множиною прибуття <math>Y</math> (областю значень). Одномісний предикат <math>\wp(x)\ \underset{{df}}{\equiv} \ [\varphi(x)=\psi(x)], </math> заданий на множині <math>X</math>, називається рівнянням з однією невідомою <math>x</math> і позначається <math>\varphi(x)=\psi(x);</math> множина <math>X</math> називається областю допустимих значень невідомого <math>x</math>. Кожний елемент <math>x \in X, </math> для якого <math>\wp(x)\equiv true </math> , називається рішенням (коренем) рівняння. Тобто сукупність усіх рішень рівняння є множина істинності <math>\wp</math> предиката. Якщо множина істиності предиката пуста (<math>\varnothing</math>), то рівняння не має рішень в <math>X</math>. Якщо множина істиності предиката дорівнює <math>X</math>, то рівняння є тотожною рівністю на <math>X</math>.
У елементарній математиці розглядають лише такі рівняння, у яких <math>\varphi(x)</math> та <math>\psi(x)</math> - числові фунції числового аргумента (тобто <math>X</math> та <math>Y</math> - підмножини множини <math>R</math> або <math>C</math>). Але у сучачній науці більшу роль грають також рівняння, у яких невідоме, а також значення утворюючих ці рівняння функцій - не числа, а обєкти іншої природи (фунції, матриці і т.д.). Потрібно лише, щоб фунції <math>\varphi</math> та <math>\psi</math> загальну область визначення Х і загальну множину прибуття У. Якщо <math>\varphi:X^{(1)} \rightarrow Y^{(1)}, </math> a <math>\psi: X^{(2)} \rightarrow Y^{(2)}</math>, то варто прийняти <math>X=X^{(1)}\cap X^{(2)},</math> <math>Y=Y^{(1)}\cap Y^{(2)}</math>. Якщо <math>X^{(1)}\cap X^{(2)}=\varnothing</math>, то предикат заданий на пустій множині, або рівняння має пусту область допустими значень. Якщо <math>Y^{(1)}\cap Y^{(2)}=\varnothing</math>, то предикат тотожно брехливий, оскільки рівність елементів <math>\varphi(x) \in Y^{(1)}</math> i <math>\psi(x)\in Y^{(1)}</math> неможлива ні для одного <math>x \in X</math>.
====== Приклади ======
* Розглянемо нерівність <math>log_{20}x+log_{20}(x+1)\leq log_{20}(2x+6)</math> з областю допустимих значень в <math>R</math>. Ця нерівність рівносильна системі:
<math>\begin{cases} x>0, \\ x+1>0, \\ 2x+6>0, \\ \log_{20}x(x+1)\leq \log_{20}(2x+6).\end{cases}</math>
Знайдемо область допустимих значень невідомого <math>x</math>:
<math>\begin{cases} x>0, \\ x(x+1) \leq 2x+6; \end{cases}</math> <math>\begin{cases} x>0, \\ x^2-x-6 \leq 0; \end{cases}</math> <math>\begin{cases} x>0, \\ (x-3)(x+2) \leq 0. \end{cases}</math>
Відповідь: <math>(0;3].</math>
* Рівняння <math>x^2=x-1</math> з ОДЗ в <math>R</math> рішень немає, оскільки значення предикату <math>\wp(x)\ \underset{{df}}{\equiv} \ [x^2=x-1] </math> при будь-якому <math>x \in R</math> є брехливе висловлювання. Якщо розглянути рівняння <math>x^2=x-1</math> з ОДЗ в <math>C</math>, то множина <math>M</math> його рішень не пуста:
<math>M=\{0,5(1-i\sqrt 3), \quad 0,5(1+i\sqrt 3)\}.</math>
== Множина розв'язків ==
Рядок 115 ⟶ 133:
* Квадратичний метод спряжених градієнтів;
* Метод квазі-мінімальних лишків.
== Системи лінійних нерівностей ==
Поряд з рівняннями суттєву роль у всіх розділах сучасної математики грають нерівності. Рішення багатьох задач зводиться до рішеня нерівностей або їх систем.
Нерівність <math>F(x_1, x_2,...,x_n)\or\Phi(x_1,x_2,...,x_n)</math> (1) називають алгебраїчною, якщо функції <math>F(x_1,x_2,...,x_n)</math> та <math>\Phi(x_1,x_2,...,x_n)</math> - многочлени відповідно степені m з n невідомими. Зокрема, якщо <math>F(x_1,x_2,...,x_n)</math> та <math>\Phi(x_1,x_2,...,x_n)</math> - лійнійні функції, тобто многочлени першої степені, то нерівність (1) називається лінійною. Інакше кажучи, лінійними називають нерівності, у яких невідомі тільки першої степені. Такими, наприклад, є нерівності <math>x+2,32y-z- \sqrt 3 \geqslant 0 </math> та <math>9097580232x+98052y-89512\leqslant0</math>. Перше з них - лінійна нерівність з трьома невідомими, друга - з двома.
Лінійну нерівність з n невідомими у загальному вигляді запишемо так:
<math>a_1x_1+a_2x_2+...+a_n x_n-a\leqslant0.</math>
== Програмне забезпечення ==
| |||