Еліптичні функції Якобі: відмінності між версіями

'''Еліптичні функції Якобі''' — набір основних [[еліптичні функції|еліптичних функцій]] [[Комплексне число|комплексної змінної]], і допоміжних [[Тета-функція|тета-функцій]], які мають велике історичне значення і пряме відношення до деяких прикладних задач (наприклад, рівняння [[Математичний маятник|маятника]]). Вони також мають корисні аналогії з [[Тригонометричні функції|тригонометричними функціями]], як показує відповідне позначення <math>\operatorname {\mathrm {sn}} </math> для <math>\sin </math>. Вони не дають найпростіший спосіб розвинути загальну теорію еліптичних функцій, тому в у вступних книгах вони менш популярні, ніж [[Еліптичні функції Вейєрштрасса|еліптичні функції Вейєрштраса]]. Еліптичні функції Якобі мають в основному [[Паралелограм|паралелограмі]] по два простих [[Полюс (комплексний аналіз)|полюси]] і два простих нуля.

Функції Якобі є [[Еліптична функція|еліптичними функціями]], тобто подвійно періодичними [[Мероморфна функція|мероморфними функціями]] комплексної змінної. Тобто фактично їх значення визначається на [[Тор (геометрія)|торі]] або основному паралелограмі.

Якщо ця функція є всюди [[Голоморфна функція|голоморфною]] то згідно з [[Теорема Ліувіля (комплексний аналіз)|теоремою Ліувіля]] вона буде константою. З властивостей [[Лишок|лишків]] та подвійної періодичності випливає також, що еліптичні функції не можуть в основному паралелограмі мати єдиного [[Полюс (комплексний аналіз)|полюса]] порядку 1. Відповідно найпростішими несталими функціями є функції з єдиним полюсом порядку два і двома полюсами порядку 1. Першими є [[Еліптичні функції Вейєрштрасса|еліптичні функції Вейєрштраса]], другими — еліптичні функції Якобі.

* Розклад функції pq ''u'' в [[ряд Тейлора]] щодо ''u'' в околі точки p має членом найменшого степеня ''u''; членом найменшого степеня при розкладі в [[ряд Лорана]] в околі q є 1/''u''; в інших кутах розклад в ряд Тейлора починається з 1.