Друга теорема Веєрштрасса: відмінності між версіями

Якщо функція <math>\!f(x)</math> [[неперервна функція|неперервна]] на [[проміжок|проміжку]] <math>\![a, b]</math>, то вона досягає на цьому проміжку своїх точних верхньої та нижньої меж. (тобто на проміжку <math>\![a, b]</math> знайдуться точки <math>\!x_1</math> та <math>\!x_2</math> такі, що <math>\!f(x_1)=M</math>, <math>\!f(x_2)=m</math>.

Доведемо, що функція <math>\!f(x)</math> неперервна на проміжку <math>\![a, b]</math> досягає своєї точної верхньої межі <math>\!M</math> (досягнення точної нижньої межі доводиться аналогічно).

Припустимо супротивне, тобто припустимо, що функція <math>\!f(x)</math> не приймає значення точної верхньої межі у будь-якій точці проміжка <math>\![a, b]</math>. Тоді для всіх точок проміжка <math>\![a, b]</math> нерівність <math>\!f(x)<M</math> є правильною, і ми можемо розглянути на проміжку <math>\![a, b]</math> скрізь додатнюдодатну функцію

<math>\!F(x)=\frac{1}{M-f(x)}</math>.

Так як знаменник <math>\!M-f(x)</math> не обертається в нуль та неперервний на проміжку <math>\![a, b]</math>, то за теоремою про неперевність частки неперервних функцій, функція <math>\!F(x)</math> також неперервна на проміжку <math>\![a, b]</math>. У цьому разі, згідно з [[Перша теорема Вейєрштрасса|першою теоремою Веєйрштрасса]], функція <math>\!F(x)</math> обмежена на проміжку <math>\![a, b]</math>, тобто знайдеться таке додатнєдодатне число <math>\!B</math>, що для будь-якого <math>\!x</math> з проміжка <math>\![a, b]</math> справедлива нерівність:

<math>\!F(x)=\frac{1}{M-f(x)} \le \!B</math>.

Її можна переписати (враховуючи що <math>\!M-f(x)>0</math>) у такому вигляді:

<math>\!f(x)\le M-\frac{1}{B}</math>.

Це співвідношення правильне для будь-яких точок <math>\!x</math> з проміжку <math>\![a, b]</math>. Воно суперечить тому, що <math>\!M</math> є точною верхньою межею (найменшою з усіх верхніх меж) функції <math>\!f(x)</math> на проміжку <math>\![a, b]</math>. Отже, отримана суперечність доводить хибність нашого припущення.