Відкрити головне меню

Зміни

Переписав теорему про висоту прімокутного трикутника та написав доведення. Також додав ілюстрацію до теореми
: <math>r= \frac {a+b-c} {2}</math>
 
[[Файл:Teorema.png|thumb|ліворуч|Висота== Теорема про висоту прямокутного трикутника]] ==
== Висота ==
[[Файл:Висота в прямокутному трикутнику.png|праворуч|350x350пкс]]
[[Файл:Teorema.png|thumb|ліворуч|Висота прямокутного трикутника]]
КвадратНехай висоти<math>h</math> — висота прямокутного трикутника <math>ABC</math>, проведеноїопущена дона гіпотенузигіпотенузу прямого кута, дорівнюєі добуткунехай проекційвона ділить гіпотенузу на відрізки <math>m</math> та <math>n</math>, які є проекціями катетів <math>a</math> та <math>b</math> на гіпотенузу <math>c</math> відповідно.
Тоді справделиві наступні рівності:
# <math>h ^ 2 = n {\cdot} m</math>
# <math>a ^ 2 = c {\cdot} m</math>
# <math>b ^ 2 = c {\cdot} n</math>
# <math>h {\cdot} c = a {\cdot} b </math>
'''''Доведення'''''. Трикутники <math>ACH</math>, <math>BCH</math> та <math>ABC</math> подібні між собою.
 
З подібності трикутників <math>ACH</math> та <math>ABC</math> маємо, що <math>\frac{h}{a}=\frac{b}{c}=\frac{n}{b}</math>. Звідси випливає, що <math>b ^ 2 = c {\cdot} n</math> та <math>h {\cdot} c = a {\cdot} b </math>. Також звідси випливає рівність <math>h=\frac{a {\cdot} n}{b}</math>.
Квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи і проекції цього катета на гіпотенузу.
 
З подібності трикутників <math>BCH</math> та <math>ABC</math> маємо, що <math>\frac{h}{b}=\frac{a}{c}=\frac{m}{a}</math>. Звідси випливає, що <math>a ^ 2 = c {\cdot} m</math>. Також звідси випливає рівність <math>h=\frac{b {\cdot} m}{a}</math>.
:<math>\displaystyle f^2=de,</math>
:<math>\displaystyle b^2=ce,</math>
:<math>\displaystyle a^2=cd</math>
 
Оскільки <math>h=\frac{a {\cdot} n}{b}</math> та <math>h=\frac{b {\cdot} m}{a}</math>, то, перемноживши між собою правді та ліві частини рівностей, одержимо <math>h^2=\frac{a {\cdot} n}{b} {\cdot} \frac{b {\cdot} m}{a}=m{\cdot}n</math>.
де ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f'' такі, як позначено на малюнку. Тоді висоту можна записати через сторони трикутника:
 
:<math>f=\frac{ab}{c} \ </math> або через катети
Таким чином доведено всі чотири рівності.
 
:<math>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{f^2}.</math>
== Джерела ==
* Г.&nbsp;П.&nbsp;Бевз. Геометрія трикутника.&nbsp;— Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1