Відмінності між версіями «Обернена функція»

нема опису редагування
== Існування ==
 
ЩорЩоб знайти обернену функциюфункцію, потрібно розв'язати [[рівняння]] <math>y = f(x)</math> відноснощодо <math>x</math>. Якщо воно має більше чимніж один корінь, то функції, оберненої до <math>f</math> не існує. Таким чином, функція <math>f(x)</math> обернена на проміжку <math>(a;b)</math>тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.
 
Для [[неперервна функція|неперервної функції]] <math>F(y)</math> виразити <math>y</math> із рівняння <math>x - F(y) = 0</math> можливо тільки в тому випадку, коли функція <math>F(y)</math> строго [[Монотонна функція|монотонна]] (смдив. [[теорема про неявну функцію]]). Тим не меньшеменш, неперервну функцію завжди можноможна обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад, <math>\sqrt{x}</math>є оберненою функцією до <math>x^2</math> на <math>[0, +\infty)</math>, хоча на проміжку <math>(-\infty, 0]</math>обернена функція інша: <math>-\sqrt{x}</math>.
 
Якщо [[композиція функцій]] f o g = E<sub>''Y''</sub>, де E: ''Y''→''Y'' - [[тотожне відображення]], то f має назву '''лівого оберненого відображення (функції)''' до g, а g - '''правого оберненого відображення (функції)''' до f.
* При побудові маємо:
: <math>y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)</math>
або
или
: <math>F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y</math>,
: <math>F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X</math>,
або корочшекоротше
: <math> F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y</math>,
: <math> F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X</math>,
* Нехай <math>F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}</math> — бієкція. Нехай <math>F^{-1}:Y \to X</math> її обернена функція. Тоді [[Функція (математика)#Графік|графіки]] функцій <math>y = F(x)</math> і <math>y = F^{-1}(x)</math> симетричні відносно прямої <math>y = x</math>.
 
== Розкладання в степіннийстепеневий ряд ==
 
Обернена функція аналітичної функції може бути представлена у вигляді степінногостепеневого ряду:
: <math>
F^{-1}(y) = \sum_{k=0}^\infty A_k(x_0) \frac{(y-f(x_0))^k}{k!},
</math>
де коєфіцієнтикоефіцієнти <math>A_k</math> задаються рекурсивною формулою:
: <math>
A_k(x)=\begin{cases} A_0(x)=x \\ A_{n+1}(x)=\frac{A_n'(x)}{F'(x)}\end{cases}
9882

редагування