Ірраціональні числа: відмінності між версіями

[перевірена версія][перевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
TeoBot (обговорення | внесок)
м checkwiki за допомогою AWB
м уточнення
Рядок 1:
'''Ірраціональні числа''' &nbsp;— числа, що не є [[раціональні числа|раціональними]], тобто не можуть бути виражені [[частка|відношенням]] [[Цілі числа|цілих чисел]]. Таким чином, ірраціональні числа утворюють множину <math>\mathbb I =\R \backslash \Q</math>, де <math>\R</math> &nbsp;— множина [[дійсні числа|дійсних чисел]], а <math>\Q</math> &nbsp;— множина раціональних чисел.
 
Уперше виникли в [[геометрія|геометрії]] при вивченні [[довжина|довжин]]. Геометрично ірраціональне число виражає собою довжину [[відрізок|відрізка]], неспільномірного з відрізком одиничної довжини. За легендою, [[піфагор]]ці відкрили несумірність деяких геометричних величин, але оскільки це суперечило їх [[філософія|філософії]], цілком побудованій на [[Натуральні числа|натуральних числах]], вони утримували це відкриття у найсуворішій таємниці і навіть покарали на смерть одного з членів свого братства&nbsp;— [[Гіппас Метапонтський|Гіппаса Метапонтського]], який (за різними джерелами) чи першим знайшов, чи розголосив цей факт.
 
== Відмінності в записі раціональних та ірраціональних чисел ==
Раціональні числа при записі їх у [[десятковий дріб]] мають періодично повторювану частину. Наприклад,
: <math>{1\over 3}=0,(3)</math>, де <math>(3)</math> означає, що трійка повторюється нескінчену кількість раз, довжина періоду &nbsp;— один.
: <math>{22\over 7}=3,(142857)</math>, довжина періоду &nbsp;— шість.
 
Періодичність дробу можна вважати за критерій приналежності числа до раціональних чисел. При розкладанні ірраціональних чисел у десятковий дріб не спостерігається такої періодичності. Наприклад, відомо, що [[число пі]] <math>\pi=3,1415926\ldots</math> &nbsp;— ірраціональне, і навіть [[трансцендентні числа|трансцендентне]]. Тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та комбінації цифр повторюються, '''не існує''' групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.
 
Існує інший спосіб задання додатних дійсних чисел: за допомогою [[ланцюгові дроби|ланцюгових дробів]]. У цьому разі, різниця між раціональними та ірраціональними числами полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а ірраціональних нескінченні, хоча для [[квадратичні ірраціональності|квадратичних ірраціональностей]] ланцюговий дріб періодичний.
 
'''Приклади'''.
: <math> \frac{355}{113}=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{16}},</math>
скінченний;
: <math>\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\ldots}}}=
[1;2,2,2\ldots]=[1;(2)],</math>
з періодом довжини один;
: <math>\sqrt{3}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\ldots}}}}=
[1;1,2,1,2\ldots]=[1;(1,2)]</math>,
з періодом довжини два;
: <math> \pi=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\ldots}}}}=
[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\ldots]</math>
(A001203 в [http://www.research.att.com/~njas/sequences/ енциклопедії цілих послідовностей]) &nbsp;— неперіодичний.
 
== Філософське значення ==
Рядок 30:
[[Піфагор]]ове твердження, що всі речі є числа, відображало [[метафізика|метафізичні]] уявлення [[стародавня Греція|стародавніх греків]]. Всесвіт є місцем гармонії, а гармонію, в свою чергу, можна описати відношенням натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональне число, дає приємне для вуха звучання. Відкриття того, що [[довжина]] [[діагональ|діагоналі]] [[квадрат]]а зі сторонами довжиною 1, тобто <math>\sqrt{2}\approx 1,4142135</math>, не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики.
 
Криза полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можуть бути виражені числами. Але ті самі математичні величини можуть бути виражені через геометричні побудови. Як наслідок &nbsp;— давньогрецька математика відмовилась від [[алгебра]]їчного підходу, на користь [[геометрія|геометричного]].
 
== Властивості ==
Рядок 37:
* Кожне ірраціональне число є або [[алгебраїчні числа|алгебраїчним]], або [[трансцендентні числа|трансцендентним]], а кожне [[трансцендентні числа|трансцендентне число]] є ірраціональним.
* Множина ірраціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними (і навіть раціональними) числами є ірраціональне число (і навіть нескінченно багато ірраціональних чисел).
* Множина ірраціональних чисел &nbsp;— [[незліченна множина]] [[категорія Бера|другої категорії]].
 
=== Топологічні властивості ===
[[Підпростір топологічного простору|Підпростір]] <math>\R \setminus \Q</math> [[евклідова топологія|евклідового простору]] <math>\R</math> має наступні властивості:
* <math>\R</math>\<math>\Q</math> є [[G-сігма множина|G<sub>δ</sub>-множиною]], але не [[F-сігма-множина|F<sub>σ</sub>-множиною]] в <math>\R</math>. Фактично, <math> R \setminus \Q= \bigcap_{ \alpha \in Q} ( R\setminus \{ \alpha \} )</math>.
* [[Евклідова відстань|Евклідова метрика]] перетворює <math> \R \setminus \Q</math> на [[метричний простір]]. Тому <math> \R \setminus \Q</math> є [[цілком нормальний простір|цілком нормальним]] та [[паракомпактний простір|паракомпактним]].
* [[Повний метричний простір]] <math>\R</math>\<math>\Q</math> є простором [[множина другої категорії|другої категорії]].
* <math>\R</math>\<math>\Q</math> [[сепарабельний простір|сепарабельний]], бо ірраціональні числа π+q, де <math>q \in \Q</math> утворюють [[щільна множина|скрізь щільну множину]] в <math> \R \setminus \Q</math>.
* <math>\R</math>\<math>\Q</math> задовольняє [[друга аксіома зліченності|другу аксіому зліченності]].
* <math>\R</math>\<math>\Q</math> не [[локально компактний простір|локально-компактний]] і не [[сігма-локально компактний простір|σ-локально компактний]].
* <math>\R</math>\<math>\Q</math> [[цілком відокремлений простір|цілком відокремлений]].
* <math>\R</math>\<math>\Q</math> [[щільна в собі множина|щільний у собі]].
* <math>\R</math>\<math>\Q</math> не [[розсіяний простір|розсіяний]].
* <math>\R</math>\<math>\Q</math> [[нульвимірний простір|нульвимірний]].
 
== Література ==
1.{{Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | mr=507446 | year=1995}}
 
Рядок 59:
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Числа]]
[[Категорія:Топології на підмножинах дійсної прямої‎прямої]]