Рівняння Максвелла: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
оформлення |
|||
Рядок 1:
'''Рівня́ння Ма́ксвелла''' — це основні рівняння [[класична електродинаміка|класичної електродинаміки]], які описують [[електричне поле|електричне]] та [[магнітне поле]], створене [[електричний заряд|
== Рівняння електродинаміки в диференціальній формі ==
Рядок 24:
: <math> \text{div} \, \mathbf{E} = 4\pi \rho</math>.
Рівняння записані в [[СГС|системі СГС]]. Тут <math> \mathbf{E} </math> — [[напруженість електричного поля]], <math>\mathbf{B} </math>
<math>\rho </math> — [[густина електричного заряду]], <math>\mathbf{j} </math> — [[електричний струм|густина електричного струму]], <math> c </math> — [[швидкість світла]].
==== У середовищі ====
У речовині електричне та магнітні поля характеризуються додатковими векторами: [[електрична індукція|електричною індукцією]] та [[напруженість магнітного поля|напруженістю магнітного поля]], зв'язаних з, відповідно, напруженістю електричного поля й магнітною індукцією співвідношення, які називають [[Матеріальні співвідношення|матеріальними]]. У загальному вигляді матеріальні співвідношення мають складну нелокальну форму, тому при запису основних рівнянь електродинаміки їх не наводять. Рівняння набирають вигляду
: <math> \text{rot} \, \mathbf{H} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \frac{4\pi}{c}
Рядок 41 ⟶ 40:
: <math> \text{div} \, \mathbf{D} = 4\pi \rho_{f}</math>.
Тут <math>\rho_{f} </math>
=== СІ ===
Рядок 74 ⟶ 73:
== Історична довідка ==
Згідно з легендою, приступаючи до роботи над створенням загальної теорії електромагнітних явищ, [[Джеймс Клерк Максвелл]] вирішив, що читатиме тільки експериментальні роботи. При виведенні своїх рівнянь він опирався на [[закон Кулона]], який визначав силу взаємодії між зарядами, [[закон Ампера]], що визначав силу взаємодії між струмами, закон електромагнітної індукції Фарадея, відсутність експериментальних даних, що вказували б на існування [[магнітний монополь|магнітного монополя]] та математичний апарат, розвинутий при вивченні явищ в області [[механіка|механіки]] й [[гідродинаміка|гідродинаміки]].
Електричне та магнітні поля Максвелл уявляв собі, як механічні збурення певного середовища — [[ефір]]у. В [[1820 році в науці|1820 році]] [[Ерстед, Ганс Хрістіан|Ганс Хрістіан Ерстед]] [[Досвід Ерстеда|виявив]]<ref>[[Ерстед
▲Електричне та магнітні поля Максвелл уявляв собі, як механічні збурення певного середовища — [[ефір]]у. В [[1820 році в науці|1820 році]] [[Ерстед, Ганс Хрістіан|Ганс Хрістіан Ерстед]] [[Досвід Ерстеда|виявив]]<ref>[[Ерстед, Ганс Хрістіан|Ерстед Г. Х.]] «Досвіди,які стосуються дій електричного незвязку на магнітну стрілу», в кн. {{Книга:Ампер A.M.: Електродинаміка|сторінка=433-439}}</ref>, що пропускаючи через дріт [[Гальванічний елемент|гальванічний]] струм, змушує відхилятися магнітну стрілку компасу. Таке відкриття притягло широкої уваги вчених того часу. В тому ж 1820 році [[Біо, Жан Батіст|Біо]] і [[Савар, Фелікс|Савар]] експериментально знайшли вираз<ref>[[Біо, Жан Батіст|J.-B. Biot]] and [[Савар, Фелікс|F. Savart]], [http://www.ampere.cnrs.fr/ice/ice_page_detail.php?lang=fr&type=text&bdd=ampere&table=ampere_text&bookId=7&typeofbookDes=Textessci&pageOrder=71&facsimile=off&search=no Note sur le Magnétisme de la pile de Volta]. — Annales Chim. Phys. — vol. 15. — pp. 222—223 (1820)</ref> для магнітної індукції, яка виникає ([[закон Біо — Савара]]), і [[Ампер, Андре Марі|Андре Марі Ампер]] виявив, що [[Закон Ампера|взаимозв'язок]] на відстані з'являється також між двома дротами, через які проходить струм. Ампер ввів термін «[[Электродинаміка|электродинамічний]]» і висунув гіпотезу, що природний магнетизм пов'язаний з існуванням в магніті кільцевих струмів<ref>{{Книга:Маріо Льоцці: Історія фізики|сторінки=253-257}}</ref>.
[[Джеймс Клерк Максвелл|Максвелл]] вперше опублікував свої рівняння в [[1861]] році. В [[1864]] побачила світ інша його праця, в якій рівнянь було вісім, оскільки вони
включали інші закони, які зараз не заведено включати в число рівнянь Максвелла. В [[1884]] [[Хевісайд]] при допомозі [[Гібс]]а вибрали першу систему 4-х рівнянь і переписали її у векторній формі, близькій до сучасної.
Вплив струму на магніт, виявлений Ерстедом, призвело [[Фарадей, Майкл | Майкла Фарадея]] до ідеї про те, що повинен існувати зворотний вплив магніту на струми. Після тривалих експериментів, в [[1831 рік у науці | 1831 році]], Фарадей відкрив, що магніт, який
Після відкриттів Фарадея стало ясно, що старі моделі електромагнетизму ([[Ампер, Андре Марі | Ампер]], [[Пуассон, Симеон Дені | Пуассон]] та ін.) неповні. Незабаром з'явилася теорія [[Вебер, Вільгельм Едуард | Вебера]], заснована на [[дальнодействие | далекодії]]. Проте до цього часу вся фізика, крім [[Закон всесвітнього тяжіння | теорії тяжіння]], мала справу лише з близькодієвими силами (оптика, термодинаміка, механіка суцільних середовищ і ін.). [[Гаусс, Карл Фрідріх | Гаус]], [[Ріман, Георг Фрідріх Бернхард | Ріман]] і ряд інших вчених висловлювали припущення, що світло має електромагнітну природу, так що теорія електромагнітних явищ теж повинна бути близькодієвою. Цей принцип став суттєвою особливістю теорії Максвелла.
Рядок 120 ⟶ 116:
| <math>\oint\limits_S \vec{D} \cdot \mbox{d}\vec{s} = \int\limits_V \rho \cdot \mbox{d}V</math>
| [[Теорема Гауса|закон Гауса для електрики]]
| Джерело електричного поля
|-
| 4.
Рядок 142 ⟶ 138:
* <math>\nabla \times</math> — оператор [[Ротор (математика)|ротора]] [1/м].
== Отримання рівнянь Максвелла у вакуумі із використанням СТВ, принципу суперпозиції та закону Кулона ==
Із [[Сила_Лоренца|отримання виразу для сили Лоренца]], напруженістю електричного поля заряду, що рухається, є вираз
<math>\ \mathbf E = \frac{Q \gamma \mathbf r}{\left( \mathbf r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}} (\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \qquad (.1)</math>,
а індукцією магнітного поля -
<math>\ \mathbf B = \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E]</math>.
Якщо у <math>\ (.1)</math> підставити <math>\ \mathbf r = 0</math>, то значення відповідно напруженості та індукції буде нескінченно великим. Для уникнення цього можна штучно ввести константу <math>\ a^{2}</math> як доданок у знаменник <math>\ (.1)</math> ('''регуляризація'''). Тоді модифікований вираз набуде вигляду
<math>\ \mathbf E = \frac{Q \gamma \mathbf r}{\left( \mathbf r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \qquad (.2)</math>.
Для того, щоб показати, у якій мірі точки простору є джерелами та стоками електричного та магнітного полів, треба взяти дивергенцію від напруженості електричного поля та від індукції магнітного поля. З урахуванням попередніх перетворень,
{{Hider|
title = Попередні перетворення. |
Рядок 188 ⟶ 184:
де
<math>\ \delta_{a} (\mathbf r) = \frac{3\gamma a^{2}}{4\pi (r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{5}{2}}}</math>
- тривимірна дельта-функція Дірака, яка дозволяє записати просторову густину заряду, зосередженого в одній точці. З неї видно, що <math>\ \nabla \mathbf E = 0</math> у кожній точці, крім як при <math>\ r = 0, a -> 0</math>, у якій <math>\ \nabla \mathbf E = \infty</math>. Звідси можна стверджувати, базуючись на визначенні дивергенції, що електричний заряд
Перейшовши до неперервного розподілення зарядів у об'ємі та використавши аксіому '''принципа суперпозиції полів''', суму тривимірних дельта-функцій Дірака можна замінити об'ємною густиною:
Рядок 196 ⟶ 192:
<math>\ \nabla \mathbf E = 4 \pi \rho, \quad \mathbf \rho = \sum_{i}Q_{i}\delta_{\alpha}(\mathbf r - \mathbf r_{i}) \qquad (.3)</math>.
Рівняння <math>\ (.3)</math> є '''першим рівнянням Максвелла'''. Із нього можна отримати багато фізичних наслідків. Один з цих наслідків полягає у тому, що силові лінії поля починаються на додатному заряді і можуть замикатися лише на від'ємному, оскільки для додатного заряду <math>\ \nabla \mathbf E</math> відповідає витоку поля, а для від'ємного
Аналогічно можна отримати величину дивергенції магнітної індукції.
Рядок 214 ⟶ 210:
Тоді, користуючись тим, що, одразу, <math>\ \nabla \mathbf u = 0</math>, можна отримати, що
<math>\ \nabla \mathbf B = 0 \qquad (.4)</math>.
{{Hider|
title = Виведення. |
Рядок 264 ⟶ 260:
<math>\ [\nabla \times \mathbf B] = \frac{1}{c}\mathbf u (\mathbf E \cdot \nabla) - \frac{1}{c}\mathbf E (\mathbf u \cdot \nabla) = \frac{1}{c}4 \pi Q \delta_{a} (\mathbf r)\mathbf u + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = \frac{1}{c}4\pi \mathbf j + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \qquad (.7)</math>,
де <math>\ \mathbf j = \sum_{i} Q_{i} \delta_{a} (\mathbf r_{i}) \mathbf u</math>
Рівняння <math>\ (.7)</math> є '''третім рівнянням Максвелла'''. З нього видно, що при електричний струм або зміна його у часі породжують вихрове магнітне поле.
Рядок 292 ⟶ 288:
content-style = color: black; text-align: left; |
}}
Рівняння <math>\ (.9)</math> є '''четвертим рівнянням Максвелла'''. З нього видно, що ротор напруженості електричного поля змінюється тільки тоді, коли є нестаціонарне магнітне поле (і, відповідно, напруженість електричного поля не сферично-симетрична через релятивістські ефекти
На остачу залишилось написати про дві аксіоми, кожна з яких має досить вагомий внесок у можливість застосування отриманих рівнянь для електродинаміки.
Перша аксіома полягає у постулюванні векторної природи електромагнітного поля. Якщо б природа електромагнітного поля була тензорною, то для його описання знадобилися б рівняння на кшталт рівнянь ЗТВ. Наприклад, якщо формально застосувати ту ж методику, що продемонстрована у цьому розділі, до закону Всесвітнього тяжіння, то можна отримати рівняння, схожі до рівнянь Максвелла, як і вираз для сили, подібний до виразу сили Лоренца. Проте їх вірність не підтверджується експериментально, хоч якісно вони і вірно описують динаміку тіл у гравітаційному полі за умови справедливості принципу суперпозиції.
Друга ж аксіома пов'язана з постулюванням незалежності рівнянь Максвелла від прискорення заряду, що створює поле. Тобто, вони справедливі для будь-яких можливих випадків руху заряду.
Окрім цього, варто написати про принцип суперпозиції. Він може бути застосований до тих пір, поки поля, що створюються зарядами, не стануть настільки сильними, що будуть впливати на простір-час, унеможливлюючи представлення векторів-характеристик поля системи через лінійну комбінацію векторів зарядів цієї системи.
== Незалежність рівнянь Максвелла ==
Користуючись рівнянням неперервності, можна перевірити систему рівнянь Максвелла на невиродженість. Взявши дивергенцію від роторного рівняння для індукції магнітного поля без підстановки <math>\ \nabla \mathbf E</math> і виразивши з рівняння неперервності <math>\ \nabla \mathbf j = - \frac{\partial \rho}{\partial t}</math>, можна отримати:
Рядок 311 ⟶ 307:
<math>\ (\nabla \cdot [ \nabla \times \mathbf E]) = \frac{\partial \nabla \mathbf B}{\partial t} = 0 \Rightarrow \nabla \mathbf B = g(x, y, z)</math>.
Таким чином, із другої пари рівнянь Максвелла можна отримати першу тільки з точністю до функцій від координат, які не залежать від часу. Строго довести же, користуючись лише цими двома рівняннями, що функції рівні нулю, неможливо. Тому у цьому сенсі рівняння Максвелла (усього їх вісім
== Примітки ==
{{reflist}}
== Див. також ==
* [[Сила Лоренца]]
* [[Перетворення Лоренца]]
{{Електромагнетизм}}
Рядок 326 ⟶ 325:
[[Категорія:Електродинаміка]]
[[Категорія:Теоретичні основи електротехніки]]
| |||