Афінна геометрія: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 54:
# (Афінна аксіома паралельності) дана точка A і пряма r, яка не проходить крізь точку А, існує не більше однієї прямої, яка проходить крізь точку А, що не задовольняє прямій r.
# ([[Теорема Дезарга]]) дано сім різних точок A, A', B, B', C, C', O, таких що AA', BB', та CC' відмінні прямі, які проходять крізь точку O та AB паралельна A'B' та BC паралельна B'C', тоді AC паралельна A'C'.
Афінне поняття паралельності утворює [[Відношення еквівалентності|відношення еквівалентності]] на прямих. Так як аксіоми впорядкованої геометрії, представленої тут, включають в себе властивості, які передбачають структуру дійсних чисел, ці властивості переносяться, так що це аксіоматизація афінної геометрії над полем дійсних чисел.
==Афінні перетворення==
Геометрично, афінне перетворення (спорідненості) зберігає [[Колінеарність|колінеарність]]: так воно перетворить паралельні прямі в паралельні прямі і збереже відношення відстаней уздовж паралельних прямих.
Ми визначаємо, в якості афінної теореми будь-який геометричний результат, який інваріантний щодо афінної групи (в Ерлангенській програмі Фелікса Кляйна, це його основна група перетворень симетрії для афінної геометрії).Розглянемо в лінійному просторі V, загальну лінійну групу GL(V).Це не вся афінна група, тому що ми повинні дозволити також перетворення вектора v із V. (Подібне перетворення карти будь-якого w із V в w + v.) Афінна група породженна загальною лінійною групою, а перетворення і справді їх напівпрямий добуток <math>V \rtimes \mathrm{GL}(V)</math>.
Наприклад, теореми з планіметрії про збіг прямих в трикутнику, що з'єднують кожну вершину з серединою протилежної сторони (у центр ваги або барицентр) залежать від поняття медіани і центра ваги як афінних інваріантів. Інші приклади теорем [[Теорема Чеви|Чеви]] і [[Теорема Менелая|Менелая]].
== Джерела інформації ==
| |||