Афінна геометрія: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування Мітка: перше редагування |
||
Рядок 1:
'''Афі́нна геоме́трія''' ({{lang-la|affinis}} — споріднений) — розділ [[геометрія|геометрії]], що вивчає властивості [[фігура геометрична|геометричних фігур]], інваріантні (незмінні) відносно [[афінне перетворення|афінних перетворень]], тобто таких взаємно однозначних точкових відображень [[евклідова площина|евклідової площини]] на евклідову площину або [[евклідів простір|евклідового простору]] на самого себе, при яких прямі переходять у прямі. Афінне перетворення зберігає величину відношення двох відрізків прямої, паралельність прямих і площин.
Рядок 9 ⟶ 10:
Афінні перетворення, а значить і афінна геометрія, широко застосовуються в геометрії і прикладних науках (теорія пружності та ін.).
== Історія ==
У 1748 році Ейлер ввів термін "афінний"({{lang-la|affinis}} ‘зв'язний’).Властивості геометричних фігур, які переходять одина в одну при афінних перетвореннях, вивчалися А. Ф. Мебіусом в першій половині XIX століття: у 1827 році вийшла його книга «Барицентричнє обчислення».
Після [[ Ерлангенська програма|Ерлангенської програми]] [[ Фелікс Клейн | Фелікса Кляйна ]], афінна геометрія була визнана як узагальнення [[ Евклідова геометрія |Евклідової геометрії]].
У 1912 році Б. Е. Вільсон і [[ Гілберт Ньютон Льюїс|Ґі́лберт Нью́тон Лью́їс ]] розробили афінну геометрію для вираження спеціальної теорії відносності.
У 1984 році "афінні площини, пов'язані з Лоренцевим векторним простором L2" були описані Г. Бірманом і Кацумі Номідзу у статті під назвою "Тригонометрія в геометрії Лоренца".
==Аксіоми==
Були висунуті кілька аксіоматичних підходів до афінної геометрії:
===Закон Паппа===
Оскільки афінна геометрія має справу з паралельними лініями, одна з властивостей паралелей зазначених [[Папп Александрійський | Паппа Олександрівським]] була прийнята в якості передумови:
* Якщо <math>A, B, C</math> знаходяться на одній лінії, а <math>A', B', C'</math> на інший, то
: <math>(AB' \parallel A'B \ \and \ BC' \parallel B'C) \Rightarrow CA' \parallel C'A.</math>
Повна система аксіом має передбачати точку, лінію і лінію, що містить точку, а примітивні поняття:
*Дві точки лежать на одній лінії.
*Для будь-якої прямої L і будь-якої точки p, яка не належить L, є тільки одна пряма, що містить p і не містить жодної точки прямої L. Ця пряма називається паралельною до прямої L.
*Кожна пряма містить принаймні дві точки.
*Існують принаймні три точки, які не належать одній прямій.
Згідно Г.С.М. Коксетера:
Цікавість цих п'яти аксіом посилюється тим, що вони можуть бути поширені на величезну кількість тверджень, проведених не тільки в [[Евклідова геометрія |Евклідовій геометрії]], але і в геометрії Мінковського простору і часу (у простому випадку 1 + 1 вимірах, в той час як спеціальна теорія відносності вимагає 1 + 3).Розширення геометрії Евкліда або Мінковського досягається шляхом додавання різних додаткових аксіом ортогональності і т. д.
Різні типи афінної геометрії відповідають тому, що інтерпретація береться для обертання. Геометрія Евкліда відповідає звичайній ідеї обертання, в той час як геометрія Мінковського відповідає гіперболічному оберту. Що стосується [[Перпендикулярність|перпендикулярних]] ліній, вони залишаються перпендикулярними, якщо площина піддається звичайному обертанню. У геометрії Мінковського, лінії, які є гіперболічно-ортогональними залишаться в цьому відношенні, якщо площина піддається гіперболічному обертанню.
== Джерела інформації ==
| |||