Рівняння стану ідеального газу: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 111:
Будемо вважати, що усі молекули рухаються із середньоквадратичною швидкістю у напрямку вздовж осі Х. Ця середньоквадратична швидкість розраховується за формулою:
:<math>\bar{v^2}=\sum_{k=1}^N(v_k)^2</math>
Або:
:<math>\bar{v}=\sqrt{\sum_{k=1}^N(v_k)^2}</math>
У подальшому ми будемо позначати цю швидкість просто v.
Рядок 121:
Тиск з боку газу на стінки посудини виникає через зіткнення молекул газу з ними. Вважатимемо, що молекули абсолютно пружно вдаряються об стінки. Позначимо площу правої (на малюнку) стінки посудини S. За декий невеликий проміжок часу, який ми позначимо Δt, по цій стінці вдаряє ΔN молекул, які містятся у об'ємі ΔV.
:<math>\Delta V=S\Delta l=vS\Delta t</math> (1)
Δl - відстань, яку проходять молекули за проміжок часу Δt. Оскільки кількість частинок у кожній одиниці об'єму однакова, то справедливим буде вираз:
:<math>\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta N}{N}</math>
Звідки:
:<math>\Delta N=N\frac{\Delta V}{V}</math> (2)
Оскільки удар абсолютно пружний, то імпульс кожної молекули зберігає свій модуль, але змінює на протилежний напрямок:
:<math>\Delta P=2P_0</math>
Тут:
Рядок 140:
Оскільки імпульс дорівнює добутку маси тіла (у даному випадку - молекули) на його швидкість, то:
:<math>\Delta P=2vm_0</math> (3)
Де m<sub>0</sub> - маса однієї молекули.
Рядок 146:
Запишемо другий закон Ньютона у імпульсній формі:
:<math>F=\frac{\Delta P}{\Delta t}</math> (4)
Підставимо рівняння (3) у рівняння (4):
:<math>F=\frac{2vm_0}{\Delta t}</math>
Оскільки це сила, з якою діє на стінку одна молекула, то при дії на неї N молекул сила буде у N разів більша. Вона розподілиться на площу S. Ми отримаємо формулу:
:<math>p = \frac{2\Delta Nvm_0}{S\Delta t}</math> (5)
Підставимо значення ΔN із формули (2):
:<math>p = N\frac{2vm_0}{S\Delta t}\frac{\Delta V}{V}</math> (6)
Підставимо ΔV із формули (1):
:<math>p = N\frac{2vm_0}{S\Delta t}\frac{vS\Delta t}{V}</math> (7)
Як можна побачити, S та Δt у числівнику та знаменнику взаємознищуються. Ми отримуємо:
:<math>p = N\frac{2v^2m_0}{V}</math> (8)
Запишемо рівняння (8) наступним чином:
:<math>pV = 2Nv^2m_0</math> (9)
Тепер потрібно спростити формулу (9). Для цього запишемо значення середньоквадратичної швидкості молекул газу:
:<math>\bar{E_k}=\frac{3}{2}kT</math> (10)
У цій формулі:
Рядок 182:
Кінетична енергія дорівнює:
:<math>\bar{E_k}=\frac{1}{2}m_0v^2</math> (11)
Поєднаємо формули (10) та (11):
:<math>\frac{3}{2}kT=\frac{1}{2}m_0v^2</math>
Або:
:<math>v^2=\frac{3kT}{m_0}</math> (12)
Підставивши (12) у (8) та провівши нескладні перетворення, отримуємо:
:<math>pV = 6\frac{m}{M}RT</math> (13)
Оскільки ми вважали, що усі молекули рухаються лише у одному напрямку, а насправді рух відбувається у шести (див. початок виводу), то розділемо рівняння (13) на 6:
:<math>pV = \frac{m}{M}RT</math> (14)
== Інші формули, що витікають із рівняння Клапейрона—Менделєєва: ==
| |||