Обернена функція: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Addbot (обговорення | внесок) |
Немає опису редагування Мітка: перше редагування |
||
Рядок 12:
:<math>\ f\colon x\to 3x+2</math>
:<math>\ f^{-1}\colon x\to(x-2)/3</math>
== Определение ==
Функция <math>g:Y\to X</math> является обратной к функции <math>f:X\to Y</math>, если выполнены следующие тождества:
* <math>f(g(y))=y</math> для всех <math>y\in Y;</math>
* <math>g(f(x))=x</math> для всех <math>x\in X.</math>
== Существование ==
Чтобы найти обратную функцию, нужно решить [[уравнение]] <math>y = f(x)</math> относительно <math>x</math>. Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к <math>f</math> не существует. Таким образом, функция <math>f(x)</math> обратима на интервале <math>(a;b)</math> тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.
Для [[непрерывная функция|непрерывной функции]] <math>F(y)</math> выразить <math>y</math> из уравнения <math>x - F(y) = 0</math> возможно в том и только том случае, когда функция <math>F(y)</math> строго [[Монотонная функция|монотонна]] (см. [[теорема о неявной функции]]). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, <math>\sqrt{x}</math> является обратной функцией к <math>x^2</math> на <math>[0, +\infty)</math>, хотя на промежутке <math>(-\infty, 0]</math> обратная функция другая: <math>-\sqrt{x}</math>.
== Примеры ==
* Если <math>F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x</math>, где <math>a>0,</math> то <math>F^{-1}(x) = \log_a x.</math>
* Если <math>F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}</math>, где <math>a,b\in \mathbb{R}</math> фиксированные постоянные и <math>a \neq 0</math>, то <math>F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}.</math>
* Если <math>F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z</math>, то <math>F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}.</math>
== Свойства ==
* Областью определения <math>F^{-1}</math> является [[множество]] <math>Y</math>, а областью значений множество <math>X</math>.
* По построению имеем:
: <math>y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)</math>
или
: <math>F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y</math>,
: <math>F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X</math>,
или короче
: <math> F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y</math>,
: <math> F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X</math>,
где <math>\circ</math> означает [[Композиция функций|композицию функций]], а <math>\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y</math> — [[Тождественное отображение|тождественные отображения]] на <math>X</math> и <math>Y</math> соответственно.
* Функция <math>F</math> является обратной к <math>F^{-1}</math>:
: <math>\left(F^{-1}\right)^{-1} = F</math>.
* Пусть <math>F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}</math> — биекция. Пусть <math>F^{-1}:Y \to X</math> её обратная функция. Тогда [[Функция (математика)#График|графики]] функций <math>y = F(x)</math> и <math>y = F^{-1}(x)</math> симметричны относительно прямой <math>y = x</math>.
== Разложение в степенной ряд ==
Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:
: <math>
F^{-1}(y) = \sum_{k=0}^\infty A_k(x_0) \frac{(y-f(x_0))^k}{k!},
</math>
где коэффициенты <math>A_k</math> задаются рекурсивной формулой:
: <math>
A_k(x)=\begin{cases} A_0(x)=x \\ A_{n+1}(x)=\frac{A_n'(x)}{F'(x)}\end{cases}
</math>
== См. также ==
* [[Теорема Лагранжа об обращении рядов]]
* [[Обратные тригонометрические функции]]
* [[Обратимая функция]]
[[Категория:Общие понятия о функциях]]
== Див. також ==
| |||