Відмінності між версіями «Кригінг»

47 908 байтів вилучено ,  5 років тому
нема опису редагування
'' 'Крігінг' '' - це вид узагальненої [[лінійна регресія | лінійної регресії]], який використовує статистичні параметри для знаходження оптимальної оцінки в сенсі мінімального [[Середньоквадратичне відхилення | середнього відхилення]] при побудові поверхонь, кубів і карт. Даний інтерполяційний метод [[геостатистика | геостатистики]] назван на честь південноафриканського гірського інженера Деніела Крига, який займався ручним створенням [[геологічна карта | геологічних карт]] за обмеженим набором даних в деякій області. В основу методу покладено принцип незсуненості середнього; тобто, взяті всі разом значення на мапі повинні мати правильне [[середнє значення]]. Глобальна незміщеність формально забезпечується за рахунок підвищення найнижчих значень і зменшення високих.
{{помилки}}
Метод у [[статистика | статистицi]], який зародився в [[геостатистики]] '' 'Крігінг' '' або '' 'гауссовский процес регресії' '' являє собою метод [[інтерполяція]], для яких інтерпольованих значень моделюються [[гауссовский процес]] регулюється попередніми [[ковариационная]] S, на відміну від кусочнополіноміальних [[згладжує сплайна | сплайна]] обрана для оптимізації плавності підібраними значеннями. При відповідних припущеннях на настоятелів, Крігінг дає [[найкращу лінійну несмещенную пророкування]] проміжних значень. Інтерполяція методи, засновані на інших критеріїв, таких як гладкість може не дати найбільш ймовірні проміжні значення. Метод широко використовується в області [[Просторовий аналіз # каротаж | просторовий аналіз]] і [[комп'ютерний експеримент]] с. Техніка також відома як '' 'передбачення Вінера-Колмогорова' '', після того, як [[Норберта Вінера]] і [[Андрій Колмогоров]].
 
З точки зору загальної [[статистика | статистики]] крігінг полягає в мінімізації [[дисперсія | дисперсії]] помилки вимірювання, яка є [[функція | функцією]] від вимірюваних ваг. Мінімізація цієї дисперсії зменшує середню квадратичну помилку відхилення оціненого значення від можливого. Досягається це шляхом прирівнювання до нуля першої [[похідна | похідною]] помилки щодо кожного невідомого ваги. У підсумку виводиться [[система рівнянь]], рішенням якої є [[вектор]] ваг.
Теоретична основа методу була розроблена французьким математиком [[Жорж Matheron]] на основі магістерської дисертації з [[Danie Г. Krige]], Крайдж та Матерон прагнули оцінити найбільш ймовірне розподіл золота, заснований на зразках з кількох свердловин. Англійська дієслово '' для Krige '' і найбільш поширеним іменник '' Крігінг ''; як часто вимовляються з [[тверді і м'які г | жорсткий "г"]], після вимови імені "Krige".
 
==Завдання кригингу==
== Основні принципи ==
Крігінг виконує дві групи завдань:
# Кількісне визначення просторової структури даних
# Створення прогнозу
Кількісні уявлення просторової структури даних, відомi як побудова [[варіограмма | варіограмм]], дає можливість користувачам підібрати до даних [[модель]] просторової залежності. Для розрахунку (прогнозу) невідомого значення [[змінна | змінної]] в заданому місці крігінг буде використовувати відповідну (підібрану) модель варіограмми, конфігурацію просторових даних і значення в [[точка | точках]] вимірювань навколо даного місця розташування.
 
== Методи крігінга ==
=== Пов'язані терміни і методи ===
Основна ідея Крігінг передбачити значення функції в даній точці шляхом обчислення середньозваженого значення відомих значень функції в околі точки. Метод математично тісно пов'язаний з [[регресійного аналізу]]. Обидві теорії отримання оцінки [[найкраща лінійна несмещенная оцінка]], грунтуючись на припущеннях про [[ковариационная]] S, використовувати [[Гаусса-Маркова теорема]], щоб довести незалежність оцінки і помилок, і використовувати дуже схожі формули. Проте, вони корисні в різних колах Крігінг проводиться для оцінки однієї реалізації випадкового поля, в той час як регресивні моделі засновані на множинних спостережень многофакторном набору даних.
 
Доступні два методи крігінга: ординарний і універсальний.
Оцінка Крігінг також може розглядатися як [[сплайн (математика) | сплайн]] в [[відтворює ядро ​​гильбертова простору]], з відтворює ядром заданої ковариационной функції <вих> {{цитують книгу |. Автор = Грейс Вахби | назва = Сплайновиє Моделі даних спостережень | видавець = СІАМ | обсяг = 59 | сторінка = 162 | рік = 1990}} </ вих> Різниця з класичним Крігінга підходу забезпечується інтерпретації: в той час як сплайн мотивовано мінімальною нормою інтерполяції на основі просторової структури Гільберта, Крігінг мотивовано очікуваної помилки в квадраті передбачення на основі стохастична модель.
 
Ординарний крігінг - найбільш загальний і широко використовуваний з методів крігінга, він використовується за умовчанням. Передбачається, що [[середнє значення]] константи невідомо. Це припущення має сенс, поки немає наукового підґрунтя відхилити його.
Крігінг з '' поліноміальних трендів поверхонь '' математично ідентично [[узагальнене найменших квадратів]] многочлен [[крива підгонки]].
 
При універсальному крігінге передбачається, що є домінуючий тренд в даних - наприклад, [[переважний вітер]] - і його можна моделювати детерміністській функцією, [[поліном | поліномом]]. Цей поліном витягується з вихідних виміряних точок, і автокорреляция моделюється з довільних помилок. Після установки моделі на довільні помилки і до прогнозування, поліном додається назад до прогнозів, щоб дати значимі результати. Універсальний крігінг слід використовувати, тільки якщо ви знаєте, що в даних є тренд, і можете дати наукове обгрунтування для його опису.
Крігінг також може бути зрозуміле як форма [[байєсівського виведення]] <дзеркальний> {{Cite книгу. | last1 = Williams | first1 = С. К. І. | глава = прогнозування за допомогою гауссовских процесів: від лінійної регресії для лінійного передбачення і на наступний період | DOI = 10,1007 / 978-94-011-5014-9_23 | Назва = Навчання в графічних моделей | сторінки = 599-621 | рік = 1998 | = 978-94-010-6104-9 ISBN}} </ вих> Крігінг починається з [[попереднього розподілу ймовірностей | перед]] [[розподіл ймовірностей | розподіл]] по [[Функція (математика) | функція]] s , Це до приймає форму гауссовского процесу: <математика> N </ математика> зразки з функції буде [[нормальний розподіл | нормально розподілені]], де [[ковариационная]] між будь-якими двома зразками є кореляційна функція ( або [[ядро (теорія множин) | ядра]]) гауссова процесу оцінюється в просторовому розташуванні двох точок. A [[Set (математика) | комплект]] значень потім спостерігається, кожне значення, пов'язане з просторовим розташуванням. Тепер, нове значення може бути передбачене в будь-якому новому місці простору, шляхом об'єднання гауссова до з гаусовим [[функції правдоподібності]] для кожного з спостережуваних значень. Отриманий в результаті [[ймовірність Задньою | задній]] розподіл також гауссово, із середнім і коваріації, які можуть бути просто обчислені з спостережуваних значень, їх дисперсії, а матриця ядра, отриманого з раніше.
 
=== === Геостатистичного оцінювач
У моделях геостатистичних, вибірка даних інтерпретується як результат випадкового процесу. Той факт, що ці моделі включають невизначеність в їх концептуалізації зовсім не означає, що явище - ліс, водоносний горизонт, родовище корисних копалин - стало результатом випадкового процесу, а це дозволяє побудувати методологічну основу для просторового логічного висновку величини в неспостережуваних місцях, а також для кількісної оцінки невизначеності, пов'язаної з оцінкою по.
 
A [[стохастичний процес]] є, в контексті цієї моделі, просто спосіб наблизитися набір даних, зібраних із зразків. Перший крок в геостатистичного модуляції є створення випадковий процес, який найкраще описує набір спостережуваних даних. <Вих> Соарес 2006, с.18 </ вих>
 
Значення від місця <математика> x_1 </ математика> (загальне найменування набору [[Географічна система координат | географічні координати]]) інтерпретується як реалізація <математика> г (x_1) </ математика> з [[ випадкова величина]] <математика> Z (x_1) </ математика>. У просторі <математика> A </ математику>, де безліч зразків диспергується, є <математика> N </ математика> реалізаціями випадкових величин <математика> Z (x_1), Z (x_2), \ cdots , Z (x_n) </ математика>, корелюють між собою.
 
Безліч випадкових величин є випадковою функцією, яка відома тільки одна реалізація <математика> г (x_i) </ математика> - сукупність спостережуваних даних. З одного тільки реалізації кожної випадкової величини це теоретично неможливо визначити будь-якої статистичний параметр окремих змінних або функції.
 
: Пропоноване технічне рішення в геостатистичного формалізму полягає в припущенні різного ступеня стаціонарності в випадкової функції, для того, щоб зробити можливим висновок деяких значень статистичних <Оп> Matheron Г. 1 978 </ вих>.
 
Наприклад, якщо припустити, виходячи з однорідності зразків в області <математика> A </ математика> де розподіляється змінна, гіпотеза про те, що [[Момент (математика) #Mean | перший момент]] знаходиться в нерухомому стані (тобто всі випадкові величини мають однакове середнє значення), то за умови, що середнє значення можна оцінити як середнє арифметичне із значень вибірок. Судячи з такої гіпотези в залежності від обставин еквівалентно беручи до уваги значення вибірки досить однорідних для підтвердження того, що уявлення.
 
Гіпотеза про стаціонарності пов'язана з [[Момент (математика) #Variance | другий момент]] визначається наступним чином: кореляція між двома випадковими величинами залежить виключно від просторового відстані між ними, і не залежить від їх розташування:
 
: <Математика> C (Z (x_1), Z (x_2)) = C (Z (x_i), Z (x_i + \ mathbf {H})) = C (\ mathbf {H}) </ математика>
:
: <Математика> \ Gamma (Z (x_1), Z (x_2)) = \ гамма (Z (x_i), Z (x_i + \ mathbf {ч})) = \ Gamma (\ mathbf {ч}) </ математика>
 
де <математика> \ mathbf {H} = (x_1, x_2) = (x_i, x_i + \ mathbf {H}) </ математика>
 
Ця гіпотеза дозволяє зробити висновок цих двох заходів - метод [[варіограмма]] і [[covariogram]] - на основі <математика> N </ математика> зразки:
 
:<math>\gamma(\mathbf{h})=\frac{1}{2N(\mathbf{h})}\sum^{N(\mathbf{h})}_{i=1}\left(Z(x_i)-Z(x_i+\mathbf{h})\right)^2</math>
:
:<math>C(\mathbf{h})=\frac{1}{N(\mathbf{h})}\sum^{N(\mathbf{h})}_{i=1}\left(Z(x_i)Z(x_i+\mathbf{h})\right)-m(x_i)m(x_i+\mathbf{h})</math>
 
де <математика> т (x_i) = \ гідророзриву {1} ​​{N (\ mathbf {H})} \ сума ^ {N (\ mathbf {H})} _ {= 1} Z (x_i) </ математика >
 
=== Лінійне оцінювання ===
Просторове умовивід, або оцінка, деякої кількості <математика> Z: \ mathbb {R} ^ п \ RightArrow \ mathbb {R} </ математику>, на ненаблюдаемой місці <математики> x_0 </ математику>, розраховується по лінійна комбінація спостережуваних значень <математика> z_i = Z (x_i) </ математика> і ваги <математика> w_i (x_0) \; = 1, \ ldots, N </ математика>:
 
<Математика> \ капелюх {Z} (x_0) = \ {bmatrix почати}
    w_1 & w_2 & \ cdots & w_n
\ Кінець {bmatrix}
\ CDOT
\ {Bmatrix почати}
z_1 \\
z_2 \\
\ Vdots \\
z_N
\ Кінець {bmatrix} = \ sum_ {= 1} ^ п w_i (x_0) \ Z раз (x_i) </ математика>
 
Ваги <математика> w_i </ математика> призначені для узагальнення двох надзвичайно важливих процедур в просторовому процесі логічного висновку:
 
* Чи відображає структурну «близькість» проб в місці оцінки, <математика> x_0 </ математика>
* У той же час, вони повинні мати ефект десегрегации, для того, щоб уникнути зсуву, викликаного можливою вибірки '' кластери ''
 
При розрахунку ваги <математика> w_i </ математику>, є дві мети в геостатистичного формалізму: '' unbias '' і '' мінімальна дисперсія оцінки ''.
 
Якщо хмара реальних значень <математика> Z (x_0) </ математика> представлений в залежності від розрахункових значень <математика> \ капелюх {Z} (x_0) </ математика>, критерій глобальної unbias, '' внутрішньої стаціонарності ' 'або [[стаціонарний процес | широкому сенсі стаціонарність]] поля, слід, що середнє значення оцінок має дорівнювати середній від дійсних значень.
 
Другий критерій говорить про те, що середнє квадратів відхилень <математика> (\ капелюх {Z} (х) -Z (х)) </ математика> має бути мінімальним, а це означає, що, коли хмара оціночних значень '' проти ' 'хмара реальні значення більш дисперсної, оцінювач більш неточними.
 
== == Методи
Залежно від стохастичних властивостей випадкового поля і різних ступенів стаціонарності передбачається, різні методи для обчислення ваг можуть бути відняті, тобто різні типи Крігінга застосовуються. Класичні методи:
 
* '' Звичайне Крігінг '' передбачає постійне невідоме на увазі тільки над пошуковою околиці <математики> x_0 </ математика>.
* '' Simple Крігінг '' передбачає стационарность [[Момент (математика) #Mean | перший момент]] по всій області з відомим середнім: <математика> E \ {Z (х) \} = Е \ {Z (x_0) \} = т </ математика>, де <математика> т </ математика> є відомим середнім.
* '' Універсальний Крігінг '' {{якір | Універсальний}} передбачає загальну полиномиальной моделі тренда, наприклад, лінійної моделі тренду <математика> E \ {Z (х) \} = \ sum_ {к = 0} ^ р \ beta_k f_k (х) </ математика>.
* '' IRFk-Крігінг '' {{якір | IRFk}} передбачає <математика> E \ {Z (х) \} </ математика>, щоб бути невідомим [[Полином]] в <математики> х </ математика> ,
* '' Індикатор Крігінг '' {{якір | Індикатор}} використовує [[функція індикатора]] s, а не самого процесу, для оцінки ймовірності переходу.
** '' Multiple-індикатор Крігінг '' {{якір | Multiple-індикатор}} є версією індикатора Крігінга роботи з сімейством показників. Спочатку МІК показала значне обіцянку як новий метод, який може більш точно оцінити загальні глобальні концентрації родовищ корисних копалин або сорту. Проте, ці вигоди переважують інших проблем, властивих практичності в моделюванні завдяки своїй природі великих розмірів блоків, використовуваних, а також відсутністю гірничодобувної промисловості масштабу дозволу. Умовне моделювання швидко стає загальновизнаним методом заміни в цьому випадку. {{Сп | дата = березень 2016}}
* '' Диз'юнктивного Крігінг '' {{якір | диз'юнктивного}} є нелінійне узагальнення Крігінга.
* '' [[Log-нормальний розподіл | логнормального]] Крігінг '' {{якір | логнормального}} интерполирует позитивні дані за допомогою [[логарифм]] с.
 
=== Звичайний Крігінг {{якір | Звичайне}} ===
Невідоме значення <математика> Z (x_0) </ математика> інтерпретується як випадкова величина, розташованої в <математики> x_0 </ математика>, а також значення сусідів зразків <математика> Z (x_i), я = 1 , \ cdots, N </ математика>. Оцінювач <математика> \ капелюх {Z} (x_0) </ математика> також інтерпретується як випадкова величина, розташованої в <математики> x_0 </ математика>, в результаті лінійної комбінації змінних.
 
Для того, щоб вивести систему крігінга для припущень моделі, через помилки, вчинені при оцінці <математика> Z (х) </ математика> в розділі <математика> x_0 </ математика> оголошений:
 
: <Математика> \ епсилон (x_0) = \ капелюх {Z} (x_0) - Z (x_0) =
\ {Bmatrix починаються} W ^ T & -1 \ кінець {bmatrix} \ CDOT \ {bmatrix починаються} Z (x_i) & \ cdots & Z (x_n) і Z (x_0) \ {кінець bmatrix} ^ T =
\ Сума ^ {N} _ {= 1} w_i (x_0) \ Z раз (x_i) - Z (x_0) </ математика>
 
Ці два критерії якості, згадані раніше тепер можуть бути виражені в термінах середнього і дисперсії нової випадкової величини <математика> \ епсилон (x_0) </ математика>:
 
'' 'Неупередженість' '':
 
Так як випадкова функція знаходиться в нерухомому стані, <математика> E (Z (x_i)) = E (Z (x_0)) = т </ математика>, спостерігається наступне обмеження:
 
: <Математика> E \ зліва (\ епсилон (x_0) \ праворуч) = 0 \ Leftrightarrow \ сума ^ {N} _ {я = 1} w_i (x_0) \ раз E (Z (x_i)) - E (Z ( x_0)) = 0 \ Leftrightarrow </ математика>
:
: <Математика> \ Leftrightarrow т \ сума ^ {N} _ {я = 1} w_i (x_0) - т = 0 \ Leftrightarrow \ сума ^ {N} _ {я = 1} w_i (x_0) = 1 \ Leftrightarrow \ mathbf {1} ^ T \ CDOT W = 1 </ математика>
 
Для того, щоб переконатися, що модель є несмещенной, вагові коефіцієнти повинні підвести до одного.
 
'' 'Мінімальна відхилення' '':
 
Два оцінювачі можуть мати <математика> E \ лівий [\ епсилон (x_0) \ вправо] = 0 </ математику>, але дисперсія навколо їх середнього значення визначає різницю між якістю оцінок. Щоб знайти оцінювача з мінімальною дисперсією, ми повинні мінімізувати <математика> E \ вліво (\ епсилон (x_0) ^ 2 \ праворуч) </ математика>.
 
: <Математика> \ {починаються масив} {RL}
Var (\ епсилон (x_0)) & = Var \ вліво (\ {bmatrix почати} W ^ T & -1 \ кінець {bmatrix} \ CDOT
\ {Bmatrix починаються} Z (x_i) & \ cdots & Z (x_n) і Z (x_0) \ {кінець bmatrix} ^ T \ праворуч) = \\
& \ Витіснення {*} {=} \ {bmatrix почати} W ^ T & -1 \ кінець {bmatrix} \ CDOT
Var \ зліва (\ {bmatrix починаються} Z (x_i) & \ cdots & Z (x_n) і Z (x_0) \ {кінець bmatrix} ^ T \ праворуч) \ CDOT
\ {Bmatrix почати} W \\ - 1 \ {кінець} bmatrix
\ Кінець {масив} </ математика>
 
'' '*' '' Див [[ковариационная матриця # Як лінійного оператора | ковариационная матриця]] {{Помилка перевірки | дата = грудня 2015}} для детального пояснення
 
: <Математика> Var (\ епсилон (x_0)) \ витісненим {*} {=} \ {bmatrix почати} W ^ T & -1 \ кінець {bmatrix} \ CDOT
\ {Bmatrix починаються} {x_i Var_} & Cov_ {x_ix_0} \\ Cov_ {x_ix_0} ^ T & Var_ {x_0} \ {кінець bmatrix} \ CDOT
\ {Bmatrix почати} W \\ - 1 \ {кінець bmatrix} </ математика>
 
'' '*' '', Де литералов <математика> \ вліво \ {Var_ {x_i}, {Var_ x_0}, {Cov_ x_ix_0} \ право \} </ математика> підставка для <математика>
\ Ліворуч \ {Var \ вліво (\ {bmatrix починаються} Z (x_1) & \ cdots & Z (x_n) \ {кінець bmatrix} ^ T \ праворуч),
Var \ зліва (Z (x_0) \ праворуч),
Cov \ вліво (\ BEGIN {bmatrix} Z (x_1) & \ cdots & Z (x_n) \ END {bmatrix} ^ T, Z (x_0) \ праворуч) \ правий \} </ математика>.
 
Після визначення моделі коваріації або [[варіограмму]], <математика> C (\ mathbf {ч}) </ математика »або« математика> \ Gamma (\ mathbf {ч}) </ математика>, що діє у всій області аналіз <математики> г (х) </ математику>, ніж ми можемо записати вираз для оцінки дисперсії будь-якої оцінки в залежності від ковариации між зразками і ковариаций між зразками і точкою для оцінки:
 
: <Математика> \ вліво \ {\ {починаються масив} {L}
Var (\ епсилон (x_0)) = W ^ T \ CDOT Var_ {x_i} \ CDOT W - Cov_ {x_ix_0} ^ T \ CDOT W - W ^ T \ CDOT Cov_ {x_ix_0} + Var_ {x_0} \\
Var (\ епсилон (x_0)) = СОУ (0) + \ sum_ {г} \ sum_ {j} w_iw_jCov (x_i, x_j) -. 2 \ sum_iw_iC (x_i, x_0) \ кінець {масив} \ вправо </ математика >
 
Деякі висновки можна стверджувати з цього виразу. Дисперсія оцінки:
 
* Не піддається кількісному визначенню в будь-якої лінійної оцінки, як тільки стаціонарності середніх значень і просторових ковариации або варіограмми, передбачаються.
* Зростає, коли коваріація між зразками і точкою для оцінки зменшується. Це означає, що, коли зразки знаходяться далі від <математики> x_0 </ математика>, тим гірші оцінки.
* Зростає з '' апріорі '' дисперсії <математика> C (0) </ математики> змінної <математика> Z (х) </ математика>. Коли змінна менше дисперсної, дисперсія нижче в будь-якій точці області <математика> A </ математика>.
* Не залежить від значень вибірок. Це означає, що та ж просторова конфігурація (з тими ж геометричними відносинами між зразками і точкою для оцінки) завжди відтворює ту ж дисперсію оцінки в будь-якій частині області <математика> A </ математика>. Таким чином, дисперсія не вимірюються невизначеність оцінки виробленого локальної змінної.
 
; Система рівнянь
: <Математика> \ {почати вирівнювання}
& \ Підпирати {W} {\ OperatorName {мінімізації}} & & W ^ T \ CDOT Var_ {x_i} \ CDOT W - Cov_ {x_ix_0} ^ T \ CDOT W - W ^ T \ CDOT Cov_ {x_ix_0} + Var_ { x_0} \\
& \ OperatorName {суб'єкт \; до}
& & \ Mathbf {1} ^ T \ CDOT W = 1
\ Кінець {Align} </ математика>
 
Вирішення цієї задачі оптимізації (див [[множителями Лагранжа]]) результати в системі '' Крігінга '':
 
: <Математика> \ {bmatrix почати} \ капелюх {W} \\\ му \ кінець {bmatrix} = \ {bmatrix почати}
Var_ {x_i} & \ mathbf {1} \\
\ Mathbf {1} ^ T & 0
\ Кінець {bmatrix} ^ {- 1} \ CDOT \ {bmatrix починаються} Cov_ {x_ix_0} \\ 1 \ кінець {bmatrix} = \ {bmatrix почати}
\ Гамма (x_1, x_1) & \ cdots & \ гамма (x_1, x_n) & 1 \\
\ Vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\
\ Гамма (x_n, x_1) & \ cdots & \ гамма (x_n, x_n) & 1 \\
1 & \ cdots & 1 & 0
\ Кінець {bmatrix} ^ {- 1}
\ {Bmatrix почати} \ гамма (x_1, х ^ *) \\ \ vdots \\ \ Gamma (x_n, х ^ *) \\ 1 \ кінець {bmatrix}
</ Математика>
 
додатковий параметр <математика> \ мю </ математика> є [[множник Лагранжа]], які використовуються при мінімізації помилки Крігінга <математика> \ sigma_k ^ 2 (х) </ математику> в честь незсуненості стан.
 
=== Простий Крігінг {{якір | Simpler}} ===
{{RUS | цей розділ дуже погано і потребує поліпшення}}
Простий Крігінг математично найпростіший, але найменш загальне. <Дзеркальний> Olea, R.A. (1999) геостатистики для інженерів і вчених Землі. Kluwer Academic Publishers. http://www.amazon.com/Geostatistics-Engineers-Earth-Scientists-Ricardo/dp/0792385233/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1449269019&sr=8-1&keywords=Olea+geostatistics</ref> Це передбачає [[очікуване значення | очікування]] в [[випадкового поля]], щоб бути відомим, і спирається на [[ковариационной функції]]. Проте, в більшості випадків ні очікування, ні ковариация відомі заздалегідь.
 
Практичні допущення для застосування '' простий Крігінга '' є:
* [[Стаціонарний процес | стаціонарності в широкому сенсі]] поля.
* Очікування усюди дорівнює нулю: <математика> \ му (х) = 0 </ математика>.
* Відомо [[ковариационная функція]] <математика> с (х, у) = \ mathrm {Cov} (Z (х), Z (у)) </ математика>
 
; Система рівнянь
В '' Крігінг ваги '' на '' простий Крігінга '' не мають незсуненості умова
і даються '' простий Крігінга системи рівнянь '':
: <Математика> \ {pmatrix почати} w_1 \\ \ vdots \\ w_n \ кінець {pmatrix} =
\ {Pmatrix почати} с (x_1, x_1) & \ cdots & с (x_1, x_n) \\
\ Vdots & \ ddots & \ vdots \\
з (x_n, x_1) & \ cdots & C (x_n, x_n)
\ Кінець {pmatrix} ^ {- 1}
\ {Pmatrix починаються} с (x_1, x_0) \\ \ vdots \\ с (x_n, x_0) \ {кінець} pmatrix
</ Математика>
 
Це аналогічно лінійної регресії <математика> Z (x_0) </ математика> на інший <математики> z_1, \ ldots, z_n </ математику>.
 
; Оцінка
Інтерполяції простим Крігінга визначається за формулою:
: <Математика> \ капелюх {Z} (x_0) = \ {pmatrix починаються} z_1 \\ \ vdots \\ z_n \ END {pmatrix} '
\ {Pmatrix почати} с (x_1, x_1) & \ cdots & с (x_1, x_n) \\
\ Vdots & \ ddots & \ vdots \\
з (x_n, x_1) & \ cdots & C (x_n, x_n)
\ Кінець {pmatrix} ^ {- 1}
\ {Pmatrix починаються} с (x_1, x_0) \\ \ vdots \\ с (x_n, x_0) \ {кінець} pmatrix
</ Математика>
 
Помилка Крігінг визначається за формулою:
: <Математика> \ mathrm {Var} \ вліво (\ капелюх {Z} (x_0) -Z (x_0) \ праворуч) = \ underbrace {с (x_0, x_0)} _ {\ mathrm {Var} (Z (x_0 ))} -
\ Underbrace {\ {pmatrix почати} с (x_1, x_0) \\ \ vdots \\ с (x_n, x_0) \ {кінець pmatrix} '
\ {Pmatrix почати}
з (x_1, x_1) & \ cdots & C (x_1, x_n) \\
\ Vdots & \ ddots & \ vdots \\
з (x_n, x_1) & \ cdots & C (x_n, x_n)
\ Кінець {pmatrix} ^ {- 1}
\ {Pmatrix починаються} с (x_1, x_0) \\ \ vdots \\ с (x_n, x_0) \ {кінець pmatrix}} _ {\ mathrm {Var} (\ капелюх {Z} (x_0))}
</ Математика>
що призводить до узагальненої версії найменших квадратів [[Гаусса-Маркова теорема]] (Чілс & Delfiner 1999 року, р & NBSP; 159.):
:<math>\mathrm{Var}(Z(x_0))=\mathrm{Var}(\hat{Z}(x_0))+\mathrm{Var}\left(\hat{Z}(x_0)-Z(x_0)\right).</math>
 
=== Властивості ===
{{RUS | цей розділ потребує перегляду. Неправильна або заплутаним текст повинен бути знищений.}}
(Cressie 1993, Чілс & Delfiner 1999 року, Вакернагель 1995)
* Оцінка Крігінг є несмещенной: <математика> E [\ капелюх {Z} (x_i)] = E [Z (x_i)] </ математика>
* Оцінка Крігінг відмінністю фактично бачимо значення: <математика> \ капелюх {Z} (x_i) = Z (x_i) </ математика> (припускаючи, що це будь-якої помилки вимірювання)
* Оцінка Крігінг <математика> \ капелюх {Z} (х) </ математика> є [[найкраща лінійна несмещенная оцінка]] з <математики> Z (х) </ математика> якщо припущення тримати. Проте (наприклад, Cressie 1993):
** Як і з будь-яким способом: Якщо припущення не виконуються, Крігінг може бути поганим.
** Там може бути краще нелінійними і / або упереджені методи.
** Немає властивості гарантовані, коли використовується неправильний варіограмма. Проте, як правило, до сих пір «хороша» інтерполяція досягається.
** Кращий не обов'язково добре: наприклад, У разі відсутності просторової залежності інтерполяція Крігінг тільки так добре, як середнє арифметичне.
* Крігінг надає <математика> \ sigma_k ^ 2 </ математика> як міра точності. Однак цей захід залежить від правильності варіограммой.
 
== Застосування ==
{{RUS | цей розділ дуже погано і потребує поліпшення}}
<- [[Файл: синклинали і anticline.jpg | великий палець | 300px | Ілюстровані зображення в [[синклинали]] і [[антиклинальная]] зазвичай вивчалися в роботах [[Структурна геологія]] і [[Геоморфология]] !. ]] ->
Хоча Крігінг був розроблений спочатку для застосування в геостатистики, це загальний метод статистичної інтерполяції, які можуть бути застосовані в будь-якої дисципліни для вибірки даних з випадкових полів, що задовольняють відповідні математичні припущення.
 
На сьогоднішній день Крігінг використовується в різних областях, включаючи наступні:
* [[Наука про навколишнє середовище]] <дзеркальний> {{цитують журнал | last1 = Bayraktar | first1 = Ханефі | last2 = Сезер | first2 = Turalioglu | рік = 2005 | назва = A підхід крігінга на основі для розміщення сайту-в вибірки оцінки якості повітря | URL = | журнал = СЕРРА | обсяг = 19 | випуск = 4 | сторінки = 301-305 | DOI = 10,1007 / s00477-005-0234-8}} </ вих>
* [[Гидрогеология]] <ім'я вих = "Чілс"> Чілс, Ж.-П. і П. Delfiner (1999) '' геостатистики, моделювання просторової невизначеності '', Wiley серії в Імовірність і статистика </ вих> <вих> {{Cite журнал. | last1 = Циммерман | first1 = Д. А. | last2 = De Marsily | first2 = Г. | last3 = Gotway | first3 = С. А. | LAST4 = Марієтта | first4 = М. Г. | last5 = Axness | first5 = С. Л. | last6 = Beauheim | first6 = Р. Л. | last7 = бюстгальтери | first7 = Р. Л. | last8 = Каррера | first8 = J. | last9 = Даган | first9 = Г. | last10 = Девіс | first10 = П. В. | last11 = Гальєгос | first11 = Д. П. | last12 = Галлі | first12 = А. | last13 = Гомез-Ернандез | first13 = J. | last14 = Grindrod | first14 = П. | last15 = Gutjahr | first15 = А. Л. | last16 = Kitanidis | first16 = П. К. | last17 = Lavenue | first17 = А. М. | last18 = Маклафлін | first18 = D. | last19 = Ньюман | first19 = С. П. | last20 = Ramarao | first20 = Б. С. | last21 = Ravenne | first21 = С | last22 = Рубін | first22 = Y. | DOI = 10,1029 / 98WR00003 | назва = Порівняння семи зворотних geostatistically на основі підходів до оцінки transmissivities для моделювання адвекцией потоком ґрунтових вод | журнал = Водні ресурси Дослідження | обсяг = 34 | випуск = 6 | сторінки = 1373 | рік = 1998 | URL = HTTP: //web.mit.edu/dennism/www/Publications/M25_1998_Zimmerman_etal_WRR.pdf | PMID = | PMC =}} </ вих> <вих> {{Cite журнал | last1 = Тонкін | first1 = M. J. | last2 = Larson | first2 = С. П. | DOI = 10,1111 / j.1745-6584.2002.tb02503.x | Назва = Крігінг Рівні води з регіонально-лінійних і точкових логарифмічні Дрифт | журнал = Грунтові води | обсяг = 40 | випуск = 2 | сторінки = 185-193 | рік = 2002 | PMID = 11916123 | PMC =}} </ вих>
* [[Mining]] <ім'я вих = "Journel"> Journel, і А.Г. C.J. Huijbregts (1978) '' Гірський геостатистики '', Academic Press London </ вих> <вих> {{Cite журнал | last1 = Річмонд | first1 = А. | журнал = [[Математична геологія]] | назва = Матеріально Ефективне Рудні Вибір Що включає Оцінка невизначеності | обсяг = 35 | випуск = 2 | сторінки = 195-215 | DOI = 10,1023 / A: 1023239606028 | рік = 2003 | PMID = | PMC =}} </ вих>
* [[Природних ресурсів]] s <вих назва = "множинний"> Goovaerts (1997) '' геостатистики для оцінки природних ресурсів '', ОУП. ISBN 0-19-511538-4 </ вих> <вих> {{Cite журнал | last1 = Емері | first1 = X. | назва = Простий і звичайна Multigaussian Крігінг для оцінки видобутих запасів | DOI = 10,1007 / s11004-005-1560-6 | журнал = [[Математична геологія]] | обсяг = 37 | випуск = 3 | сторінки = 295-319 | рік = 2005 | PMID = | PMC =}} </ вих>
* [[Дистанційне зондування]] <дзеркальний> {{Cite книга | last1 = Papritz | first1 = А. | last2 = Штейн | first2 = А. | глава = просторове прогнозування за допомогою лінійного крігінге | DOI = 10,1007 / 0-306-47647-9_6 | назва = просторова статистика для дистанційного зондування | серія = дистанційне зондування та цифрова обробка зображень | обсяг = 1 | сторінка = 83 | рік = 2002 | = 0-7923-5978 ISBN-X | PMID = | PMC =}} </ вих>
* [[Оцінка нерухомості]] <дзеркальний> Барріс, J. (2008) '' Експертна система оцінки за методом порівняння ''. Дисс, СКП, Барселона </ вих> <дзеркальний> Барріс, J. Garcia і Almirall, П. (2010) '' Функція щільності оціночної вартості '', СКП, Барселона </ вих>
* [[Комплексний аналіз і оптимізація ланцюга]] <дзеркальний> Oghenekarho Okobiah, [[Saraju Mohanty]], і Еліас Kougianos (2013) ''[http://www.cse.unt.edu/~smohanty/Publications_Journals/2013/Mohanty_IET-CDS-2013Sep_Thermal-Sensor-Geostatistical.pdf Геостатистичного-Натхненний швидкого Layout Оптимізація термодатчке нано-CMOS] '', ІЕПП схеми, прилади та системи (CDS), Vol. 7, № 5, вересень 2013, стор. 253--262. </ Вих>
* [[Моделювання СВЧ пристроїв]] <дзеркальний> [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jnm.803/abstract S. Козел і J.W. Бендлер, "точне моделювання НВЧ пристроїв з використанням крігінга скоригованої сурогати простір відображення," Int. J. Чисельне моделювання, т. 25, немає. 1, стор. 1-14, Jan./Feb. 2012.] </ Вих>
 
=== Проектування і аналіз комп'ютерних експериментів ===
Іншим дуже важливим і швидко розвивається області застосування, в [[машинобудування]], є інтерполяція даних, що надходять в якості змінних відгуку детермінованих комп'ютерного моделювання, <Оп> {{цитують книгу | Author = Сакс, Дж і Welch, WJ і Мітчелл, TJ і Вінн, високого тиску | назва = Проектування і аналіз комп'ютерних експериментів | видавець = Статистична наука | обсяг = 4 | номер = 4 | сторінки = 409-435 | рік = 1989}} </ вих> наприклад, [[Метод кінцевих елементів]] (FEM) моделювання. В цьому випадку Крігінг використовується в якості [[метамоделірованіе]] інструменту, тобто моделі чорного ящика, побудованої над розроблений набір [[комп'ютерний експеримент]] с. У багатьох практичних інженерних задач, таких як конструкції [[ОМД]] процес, один моделювання МСЕ може бути кілька годин або навіть кілька днів довжиною. Тому більш ефективно розробляти і запускати обмежена кількість комп'ютерного моделювання, а потім використовувати крігінга інтерполятор швидко передбачити реакцію в будь-якій точці конструкції. . Крігінг тому дуже часто використовується в якості так званої [[сурогатної моделі]], реалізованої всередині [[оптимізація]] підпрограми <ім'я вих = sheetforming> {{Cite журнал | last1 = Strano | first1 = М. | DOI = 10,1007 / s12289-008-0001-8 | назва = техніка для оптимізації кінцевих елементів при надійності обмеження технологічних параметрів в листового металу | журнал = Міжнародний журнал формоизменения | обсяг = 1 | сторінки = 13-20 | рік = 2008 | PMID = | PMC =}} </ вих>
 
== Дивіться також ==
{{Commons категорія | Крігінг}}
* [[Байеса лінійні статистики]]
* [[Гауссовский процес]]
* [[Багатовимірні інтерполяції]]
* [[Радіальна базисна функція]]
* [[Регрес-Крігінг]]
* [[Space відображення]]
* [[Просторова залежність]]
* [[Варіограмм]]
 
== Посилання ==
<Посилання />
 
== Подальше читання ==
{{Далі очищення | дата = листопад 2014}}
 
=== Історичні посилання ===
# Agterberg, F P, '' Geomathematics, Математична Довідкова інформація та гео-Science Applications '', Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, 1974
# Cressie, Н. А. С., '' Походження Крігінга, Математична геологія '', т. 22, стор 239-252, 1990
# Krige, D.G, '' Статистичний підхід до деяких мінних оцінок і суміжних проблем в Вітватерсранді '', дисертації магістра Університету Вітватерсранда, 1951
# Link, R F і Koch, G S, '' Експериментальні зразки і Trend-Surface Analsysis, геостатистики '', колоквіум, Plenum Press, Нью-Йорк, 1970
# Matheron, Г., "Основи геостатистики", '' економічної геології '', 58, стр 1246-1266, 1963
# Matheron, Г., "Власні випадкові функції та їх застосування", '' Adv. Appl. Проб ''., 5, стор 439-468, 1973
# Merriam, D F, редактор '' геостатистики '', колоквіум, Plenum Press, Нью-Йорк, 1970
 
=== Книги ===
* Абрамовіц, М. і Стіганом, І. (1972), Довідник по спеціальних функцій, Dover Publications, Нью-Йорк.
* Банерджі, С., Карлін, В.Р. і Гельфанд, A.E. (2004). Ієрархічна Моделювання та аналіз просторових даних. Чапмен і Холл / CRC Press, Тейлор і Френсіс групи.
* Чілс, Ж.-П. і П. Delfiner (1999) '' геостатистики, Моделювання просторової невизначеності '', Wiley серії в Імовірність і статистика.
* Cressie, N (1993) '' Статистика для просторових даних '', Wiley, Нью-Йорк
* Девід, M (1988) '' Довідник з прикладної Advanced геостатистики Ore Оцінка запасів '', Elsevier Scientific Publishing
* Deutsch, C.V. і Journel, А. Г. (1992), GSLIB - геостатистичного програмного забезпечення бібліотеки і керівництво користувача, Oxford University Press, Нью-Йорк, 338 с.
* Goovaerts, П. (1997) '' геостатистики для оцінки природних ресурсів '', Oxford University Press, Нью-Йорк ISBN 0-19-511538-4
* Isaaks, Е. Х., і Шрівастава, Р. М. (1989), Введення в прикладної геостатистики, Oxford University Press, Нью-Йорк, 561 с.
* Journel, А. Г. та С. І. Huijbregts (1978) '' Гірський геостатистики '', Academic Press London
* Journel, А. Г. (1989), Основи геостатистики в п'ять уроків, Американського геофізичного союзу, Вашингтон округ Колумбія
* {{Цитування |last1=Press|first1=WH|last2=Teukolsky|first2=SA|last3=Vetterling|first3=WT|last4=Flannery|first4=BP|year=2007|title=Numerical Рецепти: Мистецтво наукових обчислень | видання = 3 | видавець = Cambridge University Press | Видання місце = Нью-Йорк | = 978-0-521-88068-8 ISBN | глава = Розділ 3.7.4. Інтерполяція Крігінга | капітулу URL = HTTP: //apps.nrbook.com/empanel/index.html пг = 144}} ?. Крім того, [http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=836 "Розділ 15.9. Гауссовский процес регресії"].
* Соарес, A. (2000), '' Geoestatística пункт, як CIENCIAS та Terra е роблять Ambiente '', IST Press, Лісабон, ISBN 972-8469-46-2
* Штейн, М. Л. (1999), '' Статистична інтерполяція просторових даних: Деякі теорії для Крігінга '', Springer, Нью-Йорк.
* Вакернагель, H. (1995) '' Різноманітні геостатистики - Введення з додатками '', Springer Berlin
 
=== Програмне забезпечення ===
* Пакети R
# GSTAT - просторової і просторово-часової геостатистичного моделювання, прогнозування та моделювання
# RandomFields - моделювання та аналіз випадкових полів
# Bacco - байесовский аналіз комп'ютерного коду програмного забезпечення
# TGP - Treed гаусові процеси
# DiceDesign, DiceEval, DiceKriging, DiceOptim - метамоделірованіе пакети Консорціуму Dice
 
* Matlab / GNU Octave
# [Http://mgstat.sourceforge.net/ mGstat] - Geostistics набір інструментів для Matlab.
# [Http://www2.imm.dtu.dk/~hbn/dace/ DACE] - Проектування і аналіз комп'ютерних експериментів. Крігінг набір інструментів MATLAB.
# [Http://www.sumo.intec.ugent.be/ooDACE ooDACE] - Гнучка об'єктно-орієнтована Крігінг набір інструментів MATLAB.
# [Http://www.gaussianprocess.org/gpml/code/matlab/ GPML] - гауссовских процесів для машинного навчання.
# [Http://sourceforge.net/projects/kriging СТК] - Малий (Matlab / GNU Octave) Toolbox для Крігінга для проектування і аналізу комп'ютерних експериментів.
# [Http://press3.mcs.anl.gov/scala-gauss/ scalaGAUSS] - Matlab Крігінг ящик для інструментів з акцентом на великих наборах даних
# [Http://www.uqlab.com Крігінг модуль в UQLab] - Набір інструментів для виконання Крігінг з акцентом на зручність і налаштування параметрів. UQLab є основою для Matlab невизначеності кількісної оцінки, яка поставляється з різними іншими модулями (наприклад, поліноміальних хаос розкладання, аналіз чутливості, аналіз надійності).
 
* Scilab
# DACE-Scilab - Scilab порт Matlab інструментів DACE Крігінга
# Krigeage - Крігінг набір інструментів для Scilab
# KRISP - Крігінг на основі регресії і пакет оптимізації для Scilab
 
* Statgraphics
# Геопространственний Моделювання
# варіограммамі
# 2D і 3D перспективи і дисперсія карти
    
* Python
# Scikit вчитися - машинного навчання в Python
# [Http://www.pykriging.com pyKriging] - набір інструментальних засобів Engineering Крігінг в Python
 
[[Категорія: геостатистики]]
[[Категорія: Інтерполяція]]
[[Категорія: Багатовимірна інтерполяція]]
26

редагувань